Os sistemas lineares são uma ferramenta importante para a resolução de problemas matemáticos que contenham mais de uma variável, ou seja, mais de uma incógnita para ser descoberta.
A sua aplicação refere-se a questões que requerem a transformação das informações cedidas no texto em equações matemáticas de forma que, quando associadas e organizadas, fornecem a solução dos problemas.
Justamente por sua importância na resolução de questões, os sistemas lineares não são apenas utilizados na Matemática, mas também na Engenharia, Física, Economia e etc.
Para resolvermos um sistema linear, podemos utilizar alguns métodos para relacionar as equações, vejamos o método da substituição:
Método da substituição
O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações para depois substituí-la na outra, afim de diminuir o número de variáveis e alcançar a resposta do problema.
Veja o exemplo:
( I ) X + Y = 10
( II ) 2 X + 3Y = 22
Nesse exemplo, por ser mais simples, isolaremos uma das incógnitas da equação I. Escolhendo a letra X para ser isolada, precisamos alternar o lado de todos os componentes para o outro lado da igualdade afim de deixar a incógnita isolada.
X = 10 – Y
Sendo assim, substituímos o valor de X na outra equação para descobrirmos o valor correspondente a X e Y.
( II ) 2 ( 10 – Y ) + 3Y = 22
Realizando a multiplicação distributiva obtemos que:
20 – 2Y + 3Y = 22
Y = 22 – 20
Y = 2
Sendo Y igual a dois, devemos substituir o valor encontrado em uma das equações para descobrimos o valor correspondente ao X.
( I ) X + Y = 10
( I ) X + 2 = 10
( I ) X = 8
Exercício resolvido método da substituição
1) João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo perguntou-lhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João respondeu com o seguinte enigma: “A soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e de gatos é apenas 1”. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir quantos cachorros e quantos gatos João possui?
Precisamos, primeiro, identificar as informações cedidas pelo texto que são importantes para a montagem das equações.
Tomando cachorros por C e gatos por G, a soma do dobro de cachorros e o triplo de gatos ser igual a 17 é:
2C + 3G = 17
E a diferença entre os dois ser 1 é igual a:
C – G = 1
( I ) 2C + 3G = 17
( II ) C – G = 1
Utilizando o método da substituição na equação II e isolando o C obtemos que:
( II ) C = 1 + G
Logo, substituindo uma na outra:
2 ( 1 + G ) + 3G = 17
2 + 2G + 3G = 17
5G = 15
G = 3
( II ) C – G = 1
( II ) C – 3 = 1
( II ) C = 4