20 Exercícios sobre Regras e Propriedades da Potenciação (Comentado)

A potenciação é a operação matemática que expressa a multiplicação de um número por ele mesmo várias vezes consecutivas. Em resumo, utilizamos a potenciação quando um número é multiplicado por si mesmo repetidamente.

Desafie-se com os exercícios comentados sobre Regras e Propriedades da Potenciação com problemas propostos e questões de concursos para fortalecer seu entendimento sobre o assunto.

• Prepare-se mais resolvendo questões sobre propriedades da potenciação.

20 Exercícios sobre Regras e Propriedades da Potenciação (Comentado)

1. Simplifique a expressão 5^-5

Para resolver uma potência com expoente negativo, precisamos deixá-lo positivo. O próximo passo é converter a expressão em uma fração, onde a base passa a ser o numerador com denominador 1:

5^{-4 =} 1÷5⁴

Agora, podemos resolver a expressão:

1÷5^{4 =} 1÷3.125, porque 5*5*5*5=3.125

2. Simplifique a expressão 4⁵÷4³

Temos aqui uma divisão de potências com a mesma base. Neste caso, precisamos subtrair o expoente do denominador do expoente do numerador:

4⁵÷4^{3 =} 4^5-3

4^5-3=4²

4²=16

3. Resolva a expressão (3²)^-2

Este é um exemplo de potência de potência. O primeiro passo para resolvê-la é multiplicar as potências:

(3²)^{-2 =} 3^-4

Como a potência é negativa, aplicamos o conceito de transformá-la em positiva e converter a expressão em uma fração, onde a base passa a ser o numerador com denominador 1:

3^-4 =1÷3⁴

Agora podemos resolver:

1÷3^{4 =} 1÷81

4. Simplifique e resolva a expressão (7a³)^-2b^-1

Como temos dois expoentes negativos, o primeiro passo é torná-los positivos:

(7a³)^-2b^-1 = 1÷(7a³)b¹

Resolvendo 1÷(7a³)²b¹, temos:

1÷49a⁶b, porque aplicamos regra de multiplicação de potência de potência, desta forma: 7*7=49 e a³*^{2 =}a⁶

5. Como resolver (0,4)^-2?

Para resolver potência com base decimal, a regra é fazer sua representação fracionária:

(0,2)^-3 = (2/10)^-3 = (10/2)³ = 5³ = 125

6. Simplifique a expressão (a*b)³ *b⁷ *(a³)² ÷b³*a⁵

Começamos aplicando as propriedades de potência de um produto e de potência de potência:

a³ *b³ * b⁷* a⁶ ÷ b³ * a⁵

A próxima propriedade a ser aplicada é do produto de potência de mesma base:

a³⁺⁶ * b³⁺⁷ ÷ b³ *a^{5 =} a⁹ * b¹⁰ ÷b³ * a⁵

Para finalizar, usaremos a propriedade de potências de mesma base:

a^9-5 * b^{10-3 =} a⁴ * b⁷

7. Como simplificar e resolver a expressão (a³ * b^-7 *a²) ÷ (a² * b^-4)^-2?

Para simplificar e resolver a expressão acima, precisamos aplicar três regras da potenciação: potência de mesma base, potência de potência e divisão de potência de mesma base:

(a³ * b^-7 *a²) ÷ (a² * b^-4)^-2

(a³⁺² * b^-5) ÷ (a^2*2 * b^-4*²)

(a⁵ * b^-7) ÷ (a⁴ * b^-8)

a^5-4 * b^{-7- (-8)}

a¹ * b^-7+8

a¹ * b¹

a * b

8. As potências (-2)⁴ e -2⁴ são iguais ou diferentes? Justifique sua resposta.

Elas são diferentes e, consequentemente, seus resultados também são diferentes.

Na potência (-2)⁴ , tem base negativa e o expoente é par. Neste caso, o resultado é positivo, mas para resolvê-la, temos que evidenciar a base negativa:

(-2)^{4 =} (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = +16

Já a potência -2⁴ tem resultado negativo, porque a base não está entre parênteses:

-2⁴ = -16

9. Como resolver (3⁶ * 3^-2) ÷ 3⁴?

Há duas maneiras:

A primeira opção é resolver cada potência:

3⁶ = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 729

3^{-2 = 1}/3^{2 = 1}/3* 3 = 1/9

3^{4 =} 3 * 3 * 3 * 3 = 81

Agora, substituiremos os valores e resolver as operações contidas na expressão. O que devemos resolver primeiro é o que está entre parênteses:

(729 * 1/9) ÷ 81 =

81 ÷ 81 = 1

A segunda opção é aplicar a regra da multiplicação de potências de mesma base, onde repete-se a base e soma-se os expoentes. Desta forma:

(3⁶ * 3^-2) ÷ 3^{4 =}

3^{6(-2)- 4 =} 3⁰

Como todo número elevado a zero é igual a 1, o resultado besta segunda possibilidade também é 1.

10. Qual é o resultado da expressão 20x³+ 2x²y⁵, onde x=4 e y=2?

O primeiro passo é substituir as letras pelos valores indicados:

20 * (-4)³ + 2 * (-4)² * 2⁵

Lembre-se de quando a base é negativa, o resultado é positivo se o expoente for par. Quando a base é negativa com expoente ímpar, o resultado é negativo. Desta forma, a expressão fica:

20 * (-64) + 2 * (+16) * 32

Agora, tenha em mente que precisamos resolver primeiro as multiplicações, sendo assim:

20 * (-64) + 2 * (+16) * 32 =

-1280 + 32 * 32 =

-1280 + 1024 = 256

11. Imagine um sítio com 12 árvores com 12 galhos cada uma e que em cada galho tem 12 maçãs. Qual é o número de maçãs existentes nesse sítio?

A primeira coisa a pensar é a base e no expoente. Neste caso, a base é 12 e o expoente é 3, porque o número 12 aparece três vezes, sendo assim, temos: 12³

12^{3 =} 12 * 12 * 12 = 1.728

Portanto, o número de maçãs é 1.728.

12. (UFRGS) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo. Esse número de bactérias pode ser escrito como:

a) 10⁹

b) 10¹⁰

c) 10¹¹

d) 10¹²

e) 10¹³

Um bilhão é o mesmo que mil milhões, ou seja, 1.000 * 1.000.000 = 1.000.000.000

100 bilhões é igual a 100 * 1.000.000 = 100.000.000.000

Números grandes podem ser escritos em notação científica, no padrão N.10ⁿ , onde N=número menor que 10 e maior ou igual a 1. O expoente de base 10 corresponde ao número de casas decimais que a vírgula precisou andar para chegarmos ao valor de N. Observe abaixo:

1, 00000000000

Para chegar até o número 11 a vírgula foi necessário andar 11 casas decimais. Desta forma, a resposta do exercício é a alternativa C, 10¹¹

13. Na adição de base 10, quando os expoentes são iguais, a regra estabelece que devemos tratar as potências como valores inteiros. Sabendo disso, como resolver 10² + 10² ?

Aplicando este conceito, temos:

10² + 10² = 2*10²

2*10² = 2 * 100

2 * 100 = 200

14. A regra para multiplicar e dividir potências de base 10 é a mesma da regra de potenciação: na multiplicação, mantemos a base e somamos os expoentes e na divisão, mantemos a base e subtraímos os expoentes. Com base nisso, como resolver: 10⁸ * 10⁴ e 10⁶ ÷ 10⁴

Para o primeiro caso:

10⁸ * 10⁴

Mantendo a base e somando os expoentes, temos:

10⁸ * 10⁴ = 10 ⁸⁺⁴ = 10¹²

Para resolver 10⁶ ÷ 10⁴

Mantendo a base e subtraindo os expoentes, temos:

10⁶ ÷ 10⁴ = 10^6-4 = 10²

15. Simplifique a expressão 4x/2^-2?

Aqui, aplicaremos a regra dos expoentes negativos ao denominador:

4x/2^-2 = 4x(2²)

Resolvendo 4x(2²), temos:

4x(2²) = 4x(4) = 16x

16. (UFRGS) Qual é o algarismo das unidades de 9⁹⁹- 4⁴⁴?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Nove elevado a qualquer expoente ímpar resulta em um número terminado em 9: 9³ = 729, 9⁵= 59.049, etc. Já o quatro elevado a qualquer expoente par, resulta em 6, que também é um número par.

Então, basta fazer 9 - 6 = 3

Sendo assim, a alternativa correta é C

17. (FUVEST SP 2012) O resultado de (0,2)³ + (0,16)² é:

a) 0,0264

b) 0,03336

c) 0,1056

d) 0,2568

e) 0,6256

Para resolver a expressão, primeiramente temos que transformá-la em fração:

(0,2)³ + (0,16)² → (2/10)³ + (16/100)²

Feita tal transformação, podemos resolver a expressão:

(2 * 2 * 2 ÷ 10 * 10 * 10) + (16 * 16 ÷ 100 * 100) =

8/100 + 256/10000 =

0,008 + 0,0256 = 0,0336

Então, a resposta correta é alternativa B, 0,0336

18. (FATEC) Observe as sentenças abaixo:

I. 2^x+3 = 2^x * 2³

II. (25)^x = 5^2x

III. 2^x + 3^x = 5^x

a) somente a I é a verdadeira

b) somente a II é a verdadeira

c) somente a III é a verdadeira

d) somente a II é a falsa

d) somente a III é a falsa

Vamos analisar todas as sentenças:

I. 2^x+3 = 2^x * 2³ → correta, porque é a propriedade de produto de potência

II. (25)^x = 5^2x → correta, porque (25)^x = (5²)^x = 5^2x

III. 2^x + 3^x = 5^x → errada, porque não há propriedade para soma entre potências com bases diferentes.

Por isso, a alternativa correta é a D, somente a III é falsa.

19. Qual é o resultado da expressão 3^{2 3} - 5⁴ ÷ 4⁴ + 20³ ?

a) 3

b) 32

c) 10,2

d) 4096

e) 0,72

Precisamos resolver as potências do denominador:

3^{2 3} = 3⁸ → 3⁸ = 6.561

5⁴ = 5 * 5 * 5 * 5 = 625

Agora, vamos subtrair os resultados → 6.561 - 625 = 5.936

O próximo passo é resolver as potências do numerador:

4⁴ = 4 * 4 * 4 * 4 = 256

20^{3 =} 20 * 20 * 20 = 8.000

Agora, vamos somar os resultados → 256 + 8.000 = 8.256

Por fim, façamos a divisão entre os resultados da subtração e da soma:

5.936 ÷ 8.256 = 0,72

20. Para simplificar a expressão 4⁵/4³ , qual a propriedade deve ser utilizada?

Temos uma divisão de potências de mesma base, portanto, devemos usar a propriedade do quociente. O conceito dessa regra é subtrair os expoentes, então:

4⁵/4³ = 4^5-3 = 4²

Resolvendo o resultado da subtração dos expoentes: 4² = 16