Equipe Gabarite
EQUIPE
25/08/2026 • 20:59
Vamos falar dessa questão, que mistura conceitos de probabilidade condicional e distribuição de Poisson em um contexto bastante real, que é o uso do cinto de segurança e redução de lesões graves em acidentes de trânsito.
Temos dois períodos distintos: antes da ação educativa e depois da ação educativa. Antes da ação, a probabilidade de um passageiro sofrer uma lesão grave em um acidente é α. Depois da ação educativa, essa probabilidade cai para 0,5 × α. O número de acidentes em cada período segue uma distribuição de Poisson com médias λ_A (antes) e λ_B (depois) e são independentes. O total de pessoas observadas é a soma dos dois períodos.
A questão quer saber, na média, qual é a probabilidade de um passageiro sofrer uma lesão grave considerando todo o intervalo dos dois anos combinados e se essa média fica ABAIXO de 0,5 × α.
Vamos calcular a média ponderada das probabilidades de lesão grave em ambos os períodos, pesando pelas quantidades esperadas (médias de Poisson):
- Antes da ação: média de acidentes λ_A, probabilidade de lesão grave é α
- Depois da ação: média de acidentes λ_B, probabilidade de lesão grave é 0,5 × α
A média ponderada das probabilidades (que é a média da amostra toda) fica assim:
P_medio = (λ_A × α + λ_B × 0,5 × α) / (λ_A + λ_B)
Simplificando:
P_medio = α × [λ_A + 0,5 λ_B]/(λ_A + λ_B)
Queremos saber se isso é menor que 0,5 × α. Se igualarmos:
α × [λ_A + 0,5 λ_B]/(λ_A + λ_B) < 0,5 × α
Dividindo ambos os lados por α (α > 0):
[λ_A + 0,5 λ_B]/(λ_A + λ_B) < 0,5
Resolvendo:
λ_A + 0,5 λ_B < 0,5 λ_A + 0,5 λ_B
λ_A < 0,5 λ_A
λ_A - 0,5 λ_A < 0
0,5 λ_A < 0
Como λ_A é a média de uma Poisson (número esperado de acidentes), deve ser positiva. Portanto, a expressão nunca é verdadeira!
Ou seja, a média da probabilidade NUNCA será inferior a 0,5 × α porque antes da ação educativa o risco ainda era maior. Só se λ_A = 0 (nenhum acidente antes), mas aí não faria sentido dividir os períodos.
Logo, a alternativa correta é ERRADO, pois a probabilidade média nunca é inferior a 0,5 × α.
Temos dois períodos distintos: antes da ação educativa e depois da ação educativa. Antes da ação, a probabilidade de um passageiro sofrer uma lesão grave em um acidente é α. Depois da ação educativa, essa probabilidade cai para 0,5 × α. O número de acidentes em cada período segue uma distribuição de Poisson com médias λ_A (antes) e λ_B (depois) e são independentes. O total de pessoas observadas é a soma dos dois períodos.
A questão quer saber, na média, qual é a probabilidade de um passageiro sofrer uma lesão grave considerando todo o intervalo dos dois anos combinados e se essa média fica ABAIXO de 0,5 × α.
Vamos calcular a média ponderada das probabilidades de lesão grave em ambos os períodos, pesando pelas quantidades esperadas (médias de Poisson):
- Antes da ação: média de acidentes λ_A, probabilidade de lesão grave é α
- Depois da ação: média de acidentes λ_B, probabilidade de lesão grave é 0,5 × α
A média ponderada das probabilidades (que é a média da amostra toda) fica assim:
P_medio = (λ_A × α + λ_B × 0,5 × α) / (λ_A + λ_B)
Simplificando:
P_medio = α × [λ_A + 0,5 λ_B]/(λ_A + λ_B)
Queremos saber se isso é menor que 0,5 × α. Se igualarmos:
α × [λ_A + 0,5 λ_B]/(λ_A + λ_B) < 0,5 × α
Dividindo ambos os lados por α (α > 0):
[λ_A + 0,5 λ_B]/(λ_A + λ_B) < 0,5
Resolvendo:
λ_A + 0,5 λ_B < 0,5 λ_A + 0,5 λ_B
λ_A < 0,5 λ_A
λ_A - 0,5 λ_A < 0
0,5 λ_A < 0
Como λ_A é a média de uma Poisson (número esperado de acidentes), deve ser positiva. Portanto, a expressão nunca é verdadeira!
Ou seja, a média da probabilidade NUNCA será inferior a 0,5 × α porque antes da ação educativa o risco ainda era maior. Só se λ_A = 0 (nenhum acidente antes), mas aí não faria sentido dividir os períodos.
Logo, a alternativa correta é ERRADO, pois a probabilidade média nunca é inferior a 0,5 × α.