O projeto arquitetônico de um novo reservatório de água subterrâneo prevê que...

Nesse problema, devemos trabalhar com as raízes do polinômio cúbico P(x) = x³ - 14x² + 56x - 64, que representam as dimensões (comprimento, largura e profundidade) do reservatório. Essas dimensões são as raízes reais do polinômio.

Para calcular o volume máximo, que é o produto das três dimensões (r₁ * r₂ * r₃), podemos usar a propriedade dos coeficientes do polinômio. O volume será igual ao termo independente (constante) do polinômio, com sinal invertido, se o coeficiente do termo cúbico for 1. Aqui temos:

coeficiente de x³ = 1
coeficiente de x² = -14
coeficiente de x = 56
termo constante = -64

Pela relação entre raízes e coeficientes em um polinômio cúbico:
- Soma das raízes (r₁ + r₂ + r₃) = 14
- Soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas (r₁r₂ + r₂r₃ + r₃r₁) = 56
- Produto das raízes (r₁ r₂ r₃) = 64 (note que o produto das raízes é - termo constante / coeficiente do termo cúbico, ou seja, -(-64)/1 = 64).

Assim, o volume do reservatório, que é o produto das três dimensões, é 64 m³.

Agora, para calcular a área total da superfície, sendo o paralelepípedo de dimensões r₁, r₂ e r₃, a área A é dada por:
A = 2 (r₁ r₂ + r₂ r₃ + r₃ r₁) = 2 * 56 = 112 m²

Portanto, o volume e a área total do reservatório são, respectivamente, 64 m³ e 112 m².

O gabarito correto é a alternativa e).