Ingrid Nunes
EQUIPE
09/09/2026 • 15:02
Vamos analisar um problema clássico de permutação circular com restrições. A questão trata de 7 pessoas ao redor de uma mesa, onde arranjos que diferem apenas por rotação são iguais, mas arranjos que são reflexos (espelhados) são diferentes.
Primeiro, precisamos lembrar que o número total de maneiras de arranjar n pessoas em uma mesa circular, considerando que rotações são iguais, é (n-1)!. Aqui, temos 7 pessoas, então sem restrições seriam 6! = 720.
A primeira restrição é que Ana e Bruno devem ficar lado a lado. Para lidar com isso, podemos considerar Ana e Bruno como uma única entidade "bloco" para efeitos de contagem. Sendo assim, temos o bloco (Ana-Bruno) mais outras 5 pessoas, totalizando 6 entidades.
O número de arranjos dessas 6 entidades em uma mesa circular é (6-1)! = 5! = 120. Porém, Ana e Bruno podem trocar de posição dentro do bloco, o que dobra o número para 120 * 2 = 240.
Agora, temos que aplicar a segunda restrição: Carla e Daniel não devem estar em lugares adjacentes. Para isso, contamos quantos arranjos do grupo com o bloco Ana-Bruno (já fixo) colocam Carla e Daniel juntos, para depois subtrair do total.
Vamos contar quantos arranjos com Ana e Bruno juntos têm Carla e Daniel também juntos.
Consideramos Carla e Daniel como um bloco junto com o bloco Ana-Bruno e as outras 3 pessoas restantes, totalizando 5 entidades.
O número de arranjos dessas 5 entidades em uma mesa circular é (5-1)! = 4! = 24.
O bloco Ana-Bruno pode ser arranjado de 2 formas internas, Carla-Daniel também 2 formas, totalizando 24 * 2 * 2 = 96 arranjos onde Ana-Bruno estão juntos e Carla-Daniel também.
Portanto, as disposições onde Ana-Bruno estão juntos e Carla-Daniel não estão juntos é total com A-B juntos (240) menos os que também têm C-D juntos (96), ou seja 240 - 96 = 144.
Assim, o número de disposições distintas que satisfazem as condições é 144.
O gabarito é a alternativa a)
Primeiro, precisamos lembrar que o número total de maneiras de arranjar n pessoas em uma mesa circular, considerando que rotações são iguais, é (n-1)!. Aqui, temos 7 pessoas, então sem restrições seriam 6! = 720.
A primeira restrição é que Ana e Bruno devem ficar lado a lado. Para lidar com isso, podemos considerar Ana e Bruno como uma única entidade "bloco" para efeitos de contagem. Sendo assim, temos o bloco (Ana-Bruno) mais outras 5 pessoas, totalizando 6 entidades.
O número de arranjos dessas 6 entidades em uma mesa circular é (6-1)! = 5! = 120. Porém, Ana e Bruno podem trocar de posição dentro do bloco, o que dobra o número para 120 * 2 = 240.
Agora, temos que aplicar a segunda restrição: Carla e Daniel não devem estar em lugares adjacentes. Para isso, contamos quantos arranjos do grupo com o bloco Ana-Bruno (já fixo) colocam Carla e Daniel juntos, para depois subtrair do total.
Vamos contar quantos arranjos com Ana e Bruno juntos têm Carla e Daniel também juntos.
Consideramos Carla e Daniel como um bloco junto com o bloco Ana-Bruno e as outras 3 pessoas restantes, totalizando 5 entidades.
O número de arranjos dessas 5 entidades em uma mesa circular é (5-1)! = 4! = 24.
O bloco Ana-Bruno pode ser arranjado de 2 formas internas, Carla-Daniel também 2 formas, totalizando 24 * 2 * 2 = 96 arranjos onde Ana-Bruno estão juntos e Carla-Daniel também.
Portanto, as disposições onde Ana-Bruno estão juntos e Carla-Daniel não estão juntos é total com A-B juntos (240) menos os que também têm C-D juntos (96), ou seja 240 - 96 = 144.
Assim, o número de disposições distintas que satisfazem as condições é 144.
O gabarito é a alternativa a)