Ingrid Nunes
EQUIPE
15/09/2026 • 15:02
Nesta questão, temos duas funções quadráticas f(x) = ax² - 7 e g(x) = -x² + 1, e precisamos encontrar o valor de a para que seus gráficos se intersectem ortogonalmente.
Quando dois gráficos se intersectam ortogonalmente, isso significa que as retas tangentes aos gráficos no ponto de interseção são perpendiculares. A condição para perpendiculares é que o produto das derivadas (as inclinações das tangentes) nessas funções no ponto de interseção seja -1.
Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções: f'(x) = 2ax e g'(x) = -2x.
O próximo passo é encontrar os pontos de interseção, ou seja, x tal que f(x) = g(x). Isso dá ax² - 7 = -x² + 1, que rearranjado fica (a + 1)x² = 8, portanto, x² = 8/(a + 1).
No ponto de interseção, o produto das derivadas deve ser -1, então f'(x) * g'(x) = (2ax)(-2x) = -4a x² = -1. Substituindo x², temos -4a * (8/(a + 1)) = -1, que simplifica para -32a/(a + 1) = -1, ou seja, 32a/(a + 1) = 1.
Multiplicando, temos 32a = a + 1, que dá 32a - a = 1, resultando em 31a = 1. Portanto, a = 1/31.
Assim, a resposta correta é a letra a) 1/31.
Quando dois gráficos se intersectam ortogonalmente, isso significa que as retas tangentes aos gráficos no ponto de interseção são perpendiculares. A condição para perpendiculares é que o produto das derivadas (as inclinações das tangentes) nessas funções no ponto de interseção seja -1.
Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções: f'(x) = 2ax e g'(x) = -2x.
O próximo passo é encontrar os pontos de interseção, ou seja, x tal que f(x) = g(x). Isso dá ax² - 7 = -x² + 1, que rearranjado fica (a + 1)x² = 8, portanto, x² = 8/(a + 1).
No ponto de interseção, o produto das derivadas deve ser -1, então f'(x) * g'(x) = (2ax)(-2x) = -4a x² = -1. Substituindo x², temos -4a * (8/(a + 1)) = -1, que simplifica para -32a/(a + 1) = -1, ou seja, 32a/(a + 1) = 1.
Multiplicando, temos 32a = a + 1, que dá 32a - a = 1, resultando em 31a = 1. Portanto, a = 1/31.
Assim, a resposta correta é a letra a) 1/31.