Ingrid Nunes
EQUIPE
17/09/2026 • 13:02
Vamos falar um pouco sobre volumes de sólidos de revolução, que são bem comuns em questões de cálculo integral. Quando temos uma área delimitada entre duas curvas e queremos girá-la em torno do eixo x, o volume do sólido resultante pode ser calculado usando a fórmula do método dos anéis ou discos.
Aqui, as funções dadas são f(x) = 2^x e g(x) = x², definidas no intervalo [0, 5). A questão pede o volume do sólido gerado ao girar a área limitada entre elas em torno do eixo x nesse intervalo, mais especificamente entre suas intersecções.
Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção entre f(x) e g(x), ou seja, resolver 2^x = x². Podemos tentar valores para entender onde essas funções se encontram:
- Para x=0, f(0)=1, g(0)=0, então 2^0=1 > 0²=0.
- Para x=1, f(1)=2, g(1)=1, 2^1=2 > 1.
- Para x=2, f(2)=4, g(2)=4, 2^2=4 = 4. Aqui temos um ponto de intersecção em x=2.
- Para x=4, f(4)=16, g(4)=16, também se intersectam em x=4.
Portanto, as interseções dentro do intervalo [0,5) são em x=2 e x=4.
O volume de revolução é dado pela integral entre 2 e 4 da diferença dos quadrados das funções: V = π∫[2,4] (f(x))^2 - (g(x))^2 dx, pois o sólido é formado pela rotação da área entre f(x) e g(x).
Calculando as expressões:
(f(x))^2 = (2^x)^2 = 2^{2x} = 4^x
(g(x))^2 = (x^2)^2 = x^4
Assim, V = π∫_2^4 (4^x - x^4) dx.
Vamos calcular as integrais separadas:
∫ 4^x dx = ∫ e^{x ln(4)} dx = e^{x ln(4)} / ln(4) + C = 4^x / ln(4)
Sabendo que ln(2) ≈ 0.7 => ln(4) = ln(2^2) = 2 ln(2) = 1.4
Portanto, ∫_2^4 4^x dx = [4^x / 1.4]_2^4 = (4^4 - 4^2) / 1.4 = (256 - 16) / 1.4 = 240 / 1.4 ≈ 171.43
Agora a segunda integral:
∫ x^4 dx = x^5 / 5 + C
Logo, ∫_2^4 x^4 dx = (4^5 / 5) - (2^5 / 5) = (1024/5) - (32/5) = (992/5) = 198.4
Então o volume é V = π (171.43 - 198.4) = π (-26.97), que é negativo. Isso indica que na integral a função x^4 (g(x)^2) é maior que 4^x (f(x)^2) no intervalo [2,4], e por isso devemos inverter a ordem para o volume não ser negativo.
Vamos então fazer V = π ∫_2^4 (x^4 - 4^x) dx = π (198.4 - 171.43) = π (26.97) ≈ 27 π
Assim, o valor aproximado do volume é 27 π, que corresponde à letra e).
Gabarito: letra e)
Aqui, as funções dadas são f(x) = 2^x e g(x) = x², definidas no intervalo [0, 5). A questão pede o volume do sólido gerado ao girar a área limitada entre elas em torno do eixo x nesse intervalo, mais especificamente entre suas intersecções.
Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção entre f(x) e g(x), ou seja, resolver 2^x = x². Podemos tentar valores para entender onde essas funções se encontram:
- Para x=0, f(0)=1, g(0)=0, então 2^0=1 > 0²=0.
- Para x=1, f(1)=2, g(1)=1, 2^1=2 > 1.
- Para x=2, f(2)=4, g(2)=4, 2^2=4 = 4. Aqui temos um ponto de intersecção em x=2.
- Para x=4, f(4)=16, g(4)=16, também se intersectam em x=4.
Portanto, as interseções dentro do intervalo [0,5) são em x=2 e x=4.
O volume de revolução é dado pela integral entre 2 e 4 da diferença dos quadrados das funções: V = π∫[2,4] (f(x))^2 - (g(x))^2 dx, pois o sólido é formado pela rotação da área entre f(x) e g(x).
Calculando as expressões:
(f(x))^2 = (2^x)^2 = 2^{2x} = 4^x
(g(x))^2 = (x^2)^2 = x^4
Assim, V = π∫_2^4 (4^x - x^4) dx.
Vamos calcular as integrais separadas:
∫ 4^x dx = ∫ e^{x ln(4)} dx = e^{x ln(4)} / ln(4) + C = 4^x / ln(4)
Sabendo que ln(2) ≈ 0.7 => ln(4) = ln(2^2) = 2 ln(2) = 1.4
Portanto, ∫_2^4 4^x dx = [4^x / 1.4]_2^4 = (4^4 - 4^2) / 1.4 = (256 - 16) / 1.4 = 240 / 1.4 ≈ 171.43
Agora a segunda integral:
∫ x^4 dx = x^5 / 5 + C
Logo, ∫_2^4 x^4 dx = (4^5 / 5) - (2^5 / 5) = (1024/5) - (32/5) = (992/5) = 198.4
Então o volume é V = π (171.43 - 198.4) = π (-26.97), que é negativo. Isso indica que na integral a função x^4 (g(x)^2) é maior que 4^x (f(x)^2) no intervalo [2,4], e por isso devemos inverter a ordem para o volume não ser negativo.
Vamos então fazer V = π ∫_2^4 (x^4 - 4^x) dx = π (198.4 - 171.43) = π (26.97) ≈ 27 π
Assim, o valor aproximado do volume é 27 π, que corresponde à letra e).
Gabarito: letra e)