Camila Duarte
EQUIPE
17/09/2026 • 13:02
Vamos analisar o problema de movimento na curva xy = 4, onde y varia com uma velocidade constante α. Temos uma relação entre x e y que é dada por xy = 4. Para encontrar a aceleração da abscissa x quando x = 2, primeiro derivamos a relação xy = 4 em relação ao tempo t, usando a regra do produto.
Derivando ambos os lados: d/dt(xy) = d/dt(4). Isso dá x(dy/dt) + y(dx/dt) = 0, porque a derivada da constante 4 é zero.
Sabemos que dy/dt = α (velocidade constante de y). Assim, xα + y(dx/dt) = 0. Reorganizando, temos y dx/dt = -xα, portanto dx/dt = -xα / y.
Queremos a aceleração da abscissa, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, d²x/dt² = d/dt(dx/dt). Como dx/dt depende de x e y que são funções do tempo, usaremos a regra da cadeia para derivar dx/dt = -xα / y.
Derivando: d²x/dt² = d/dt(-xα / y) = -α d/dt(x / y) = -α [ (y dx/dt - x dy/dt) / y² ].
Substituímos dx/dt e dy/dt: dx/dt = -xα / y e dy/dt = α.
Logo, d²x/dt² = -α [ (y (-xα / y) - x α) / y² ] = -α [ (-xα) - x α ) / y² ] = -α [ (-xα - xα) / y² ] = -α ( -2xα / y² ) = (2 x α²) / y².
No ponto onde x = 2, da curva xy = 4, temos y = 4 / x = 4 / 2 = 2.
Substituindo na expressão da aceleração: a_x = (2 * 2 * α²) / (2²) = (4 α²) / 4 = α².
Portanto, a aceleração da abscissa quando x = 2 é α², que corresponde à alternativa c).
Derivando ambos os lados: d/dt(xy) = d/dt(4). Isso dá x(dy/dt) + y(dx/dt) = 0, porque a derivada da constante 4 é zero.
Sabemos que dy/dt = α (velocidade constante de y). Assim, xα + y(dx/dt) = 0. Reorganizando, temos y dx/dt = -xα, portanto dx/dt = -xα / y.
Queremos a aceleração da abscissa, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, d²x/dt² = d/dt(dx/dt). Como dx/dt depende de x e y que são funções do tempo, usaremos a regra da cadeia para derivar dx/dt = -xα / y.
Derivando: d²x/dt² = d/dt(-xα / y) = -α d/dt(x / y) = -α [ (y dx/dt - x dy/dt) / y² ].
Substituímos dx/dt e dy/dt: dx/dt = -xα / y e dy/dt = α.
Logo, d²x/dt² = -α [ (y (-xα / y) - x α) / y² ] = -α [ (-xα) - x α ) / y² ] = -α [ (-xα - xα) / y² ] = -α ( -2xα / y² ) = (2 x α²) / y².
No ponto onde x = 2, da curva xy = 4, temos y = 4 / x = 4 / 2 = 2.
Substituindo na expressão da aceleração: a_x = (2 * 2 * α²) / (2²) = (4 α²) / 4 = α².
Portanto, a aceleração da abscissa quando x = 2 é α², que corresponde à alternativa c).