Sobre as raízes da equação polinomial 3x3 – 5x2 – 26x...

Vamos analisar um pouco sobre as raízes de equações polinomiais e como trabalhamos com elas. Uma equação do terceiro grau como esta, 3x³ – 5x² – 26x – 8 = 0, possui três raízes que podem ser reais ou complexas. As informações dadas dizem que o produto da maior raiz pela menor raiz é -8. Sabemos que o produto das raízes, considerando a equação 3x³ – 5x² – 26x – 8 = 0, é dado pelo termo constante dividido pelo coeficiente do termo de maior grau, com sinal trocado se for de grau ímpar (como é o caso aqui).

A fórmula para o produto das raízes, num polinômio ax³ + bx² + cx + d = 0, é (-d)/a. Nesse caso, a = 3 e d = -8, então o produto das três raízes é (-(-8))/3 = 8/3.

Sejam as raízes r1 (menor), r2 (intermediária) e r3 (maior). Foi dado que r1 * r3 = -8.

Sabemos o produto total: r1 * r2 * r3 = 8/3.

Dividindo o produto total pelo produto das extremas, temos: r2 = (8/3) / (-8) = (8/3) * (-1/8) = -1/3.

Agora, usando a soma das raízes, que é dada por -b/a, ou seja: (-(-5))/3 = 5/3, temos:

r1 + r2 + r3 = 5/3

Como r2 = -1/3, então:

r1 + r3 = 5/3 - (-1/3) = 5/3 + 1/3 = 6/3 = 2

Sabemos que r1 * r3 = -8 e r1 + r3 = 2.

Com isso, as raízes r1 e r3 satisfazem a equação x² - (r1 + r3)x + r1r3 = 0,

ou seja:

x² - 2x - 8 = 0.

Resolvendo essa equação:

x = [2 ± sqrt(4 + 32)] / 2 = [2 ± sqrt(36)] / 2 = [2 ± 6]/2

Temos duas soluções:

x = (2 + 6)/2 = 8/2 = 4 (maior raiz)

x = (2 - 6)/2 = (-4)/2 = -2 (menor raiz)

Agora, somando 5 à menor raiz:

-2 + 5 = 3

Portanto, a resposta correta é 3.