A expressão 7100 (mod5) + 1850 (mod5) é congruente a

Essa questão envolve o cálculo de congruências modulares, um tema bastante comum em concursos que lidam com teoria dos números. O objetivo é encontrar o valor de 7 elevado a 100, módulo 5, somado ao 18 elevado a 50, módulo 5, e então verificar a congruência desse resultado módulo 5.

Primeiro, vamos simplificar cada parte. Lembre que para calcular um número elevado a uma potência módulo algum valor, podemos reduzir a base módulo esse valor. Assim, 7 (mod 5) é 2, porque 7 dividido por 5 deixa resto 2. Portanto, 7^100 (mod 5) é o mesmo que 2^100 (mod 5).

Vamos analisar o padrão das potências de 2 módulo 5:
2^1 = 2 (mod 5)
2^2 = 4 (mod 5)
2^3 = 8 ≡ 3 (mod 5)
2^4 = 16 ≡ 1 (mod 5)

O ciclo se repete a cada 4 potências, pois 2^4 ≡ 1 (mod 5). Agora, dividimos 100 por 4: 100 ÷ 4 = 25, que é inteiro, então 2^100 ≡ (2^4)^25 ≡ 1^25 ≡ 1 (mod 5).

Agora vamos para 18^50 (mod 5). 18 modulo 5 é 3, porque 18 ÷ 5 deixa resto 3. Assim, queremos calcular 3^50 (mod 5).
Vamos analisar o padrão das potências de 3 modulo 5:
3^1 = 3
3^2 = 9 ≡ 4
3^3 = 3^2*3 = 4*3 = 12 ≡ 2
3^4 = 3^3*3 = 2*3 = 6 ≡ 1

O ciclo se repete a cada 4 potências, pois 3^4 ≡ 1 (mod 5).
Dividimos 50 por 4: 50 ÷ 4 = 12 com resto 2. Então,
3^50 ≡ 3^2 ≡ 4 (mod 5).

Finalmente, somamos os resultados:
2^100 (mod 5) + 18^50 (mod 5) ≡ 1 + 4 ≡ 5 ≡ 0 (mod 5).

Portanto, a expressão é congruente a 0 módulo 5. A alternativa correta é a letra b).