Camila Duarte
EQUIPE
21/09/2026 • 11:02
Vamos analisar a questão que pede a área delimitada pelas intersecções das curvas f(x) = x^4 - 3x^2 e g(x) = x^2. O primeiro passo é encontrar os pontos em que as duas funções se cruzam, ou seja, resolver f(x) = g(x). Isso dá: x^4 - 3x^2 = x^2, que pode ser rearranjado como x^4 - 4x^2 = 0. Fatorando, temos x^2(x^2 - 4) = 0, levando a x = 0 e x = ±2.
Agora que temos os pontos de interseção, queremos calcular a área entre as curvas entre x = -2 e x = 2. A área será a integral de |g(x) - f(x)| dx nesse intervalo. Vamos verificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Avaliando em x=1: f(1) = 1 - 3 = -2, g(1) = 1, logo g(x) > f(x).
Então a área é ∫ de -2 a 2 de (g(x) - f(x)) dx = ∫-2^2 (x^2 - (x^4 - 3x^2)) dx = ∫-2^2 (x^2 - x^4 + 3x^2) dx = ∫-2^2 (4x^2 - x^4) dx.
Como as funções e intervalos são simétricos e o integrando é par, podemos calcular 2 vezes a integral de 0 a 2. Então a área é 2∫0^2 (4x^2 - x^4) dx = 2 [ (4 * x^3/3) - (x^5/5) ]_0^2 = 2 [ (4 * 8/3) - (32/5) ] = 2 [ (32/3) - (32/5) ] = 2 [ (160/15) - (96/15) ] = 2 * (64/15) = 128/15.
Portanto, o gabarito correto é a letra b) 128/15.
Agora que temos os pontos de interseção, queremos calcular a área entre as curvas entre x = -2 e x = 2. A área será a integral de |g(x) - f(x)| dx nesse intervalo. Vamos verificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Avaliando em x=1: f(1) = 1 - 3 = -2, g(1) = 1, logo g(x) > f(x).
Então a área é ∫ de -2 a 2 de (g(x) - f(x)) dx = ∫-2^2 (x^2 - (x^4 - 3x^2)) dx = ∫-2^2 (x^2 - x^4 + 3x^2) dx = ∫-2^2 (4x^2 - x^4) dx.
Como as funções e intervalos são simétricos e o integrando é par, podemos calcular 2 vezes a integral de 0 a 2. Então a área é 2∫0^2 (4x^2 - x^4) dx = 2 [ (4 * x^3/3) - (x^5/5) ]_0^2 = 2 [ (4 * 8/3) - (32/5) ] = 2 [ (32/3) - (32/5) ] = 2 [ (160/15) - (96/15) ] = 2 * (64/15) = 128/15.
Portanto, o gabarito correto é a letra b) 128/15.