Marcos de Castro
EQUIPE
22/09/2026 • 01:02
Vamos falar um pouco sobre testes de hipóteses para média quando a variância é conhecida e a população é normal. O teste proposto é unilateral à direita, com H0: µ = 50 contra H1: µ > 50, usando a média amostral X e sabendo que σ² = 20, com n = 20. O teste rejeita H0 se X > 51,645, e o nível de significância é α = 0,05.
A questão pede para calcular a probabilidade do erro do tipo II, que ocorre quando H0 é falso, mas não rejeitamos H0. Ou seja, é a probabilidade de não rejeitar H0 mesmo que µ = 52 (valor real sob H1). Ou seja, o erro tipo II é β = P(falhar em rejeitar H0 | µ=52) = P(X ≤ 51,645 | µ=52).
Como X ~ N(µ, σ²/n), com σ² = 20 e n = 20, então o erro padrão é σ/√n = √20/√20 = √(20/20) = 1. Portanto, X ~ N(µ,1). Quando µ=52, a variável X ~ N(52,1).
Queremos P(X ≤ 51,645 | µ=52), que em termos da normal padrão Z = (X - µ)/(σ/√n) é P(Z ≤ (51,645 - 52) / 1) = P(Z ≤ -0,355).
Isso corresponde à alternativa a).
A questão pede para calcular a probabilidade do erro do tipo II, que ocorre quando H0 é falso, mas não rejeitamos H0. Ou seja, é a probabilidade de não rejeitar H0 mesmo que µ = 52 (valor real sob H1). Ou seja, o erro tipo II é β = P(falhar em rejeitar H0 | µ=52) = P(X ≤ 51,645 | µ=52).
Como X ~ N(µ, σ²/n), com σ² = 20 e n = 20, então o erro padrão é σ/√n = √20/√20 = √(20/20) = 1. Portanto, X ~ N(µ,1). Quando µ=52, a variável X ~ N(52,1).
Queremos P(X ≤ 51,645 | µ=52), que em termos da normal padrão Z = (X - µ)/(σ/√n) é P(Z ≤ (51,645 - 52) / 1) = P(Z ≤ -0,355).
Isso corresponde à alternativa a).