David Castilho
EQUIPE
13/10/2026 • 03:01
Essa questão fala sobre o resto da divisão de um polinômio p(x) por um produto de dois polinômios (x - 1) e (x² - 4). O enunciado informa que os restos da divisão de p(x) por cada um desses polinômios são conhecidos e pede para encontrar o valor de r(-1), onde r(x) é o resto da divisão de p(x) por (x - 1)(x² - 4).
Primeiro, precisamos lembrar que o grau do resto r(x) ao dividir p(x) por um produto de dois polinômios cujos graus somam 3, será menor que 3. Ou seja, r(x) será um polinômio de grau no máximo 2: r(x) = ax² + bx + c.
Sabemos que o resto da divisão de p(x) por (x-1) é -2. Portanto, p(1) = -2. Como r(x) é o resto da divisão por (x - 1)(x² - 4), então p(x) = (x - 1)(x² - 4)Q(x) + r(x), e ao substituir x=1, o termo (x - 1)(x² - 4)Zera, logo p(1) = r(1) = -2.
Também, o resto da divisão de p(x) por (x² - 4) é x+3. Como x² - 4 = (x - 2)(x + 2), o resto ao dividir por esse polinômio é um polinômio de grau menor que 2, ou seja, de grau máximo 1, e é dado por x + 3.
Como p(x) = (x - 1)(x² - 4)Q(x) + r(x), quando dividimos por (x² - 4), o resto é r(x) modulo (x² - 4). Ou seja, r(x) = (x² - 4)S(x) + (x + 3). Como r(x) tem grau 2 no máximo, e o resto da divisão de r(x) por (x² - 4) é (x + 3), isso implica que r(x) = (x² - 4)k + (x + 3), para algum coeficiente k real.
Sendo assim, escrevemos r(x) = a x² + b x + c e temos:
r(x) modulo (x - 1): r(1) = -2
r(x) modulo (x² - 4): Quando dividimos r(x) por x² - 4, o resto é x + 3, o que significa que r(x) e x + 3 são iguais ao substituir x = 2 e x = -2 (raízes de x² - 4 = 0).
Portanto:
r(1) = a + b + c = -2
r(2) = 4a + 2b + c = 2 + 3 = 5
r(-2) = 4a - 2b + c = -2 + 3 = 1
Agora, temos o sistema:
1) a + b + c = -2
2) 4a + 2b + c = 5
3) 4a - 2b + c = 1
Subtraindo (1) de (2): (4a - a) + (2b - b) + (c - c) = 5 - (-2) => 3a + b = 7
Subtraindo (1) de (3): (4a - a) + (-2b - b) + (c - c) = 1 - (-2) => 3a - 3b = 3
Agora, temos:
3a + b = 7
3a - 3b = 3
Subtraindo as duas: (3a + b) - (3a - 3b) = 7 - 3 => b + 3b = 4 => 4b = 4 => b = 1
Substituindo b=1 em 3a + b = 7:
3a + 1 = 7
3a = 6
a = 2
Finalmente, usando a + b + c = -2:
2 + 1 + c = -2
3 + c = -2
c = -5
Agora que temos r(x) = 2x² + x -5, podemos calcular r(-1):
r(-1) = 2(1) + (-1) - 5 = 2 - 1 - 5 = -4
Portanto, o valor de r(-1) é -4, que corresponde à alternativa a).
Primeiro, precisamos lembrar que o grau do resto r(x) ao dividir p(x) por um produto de dois polinômios cujos graus somam 3, será menor que 3. Ou seja, r(x) será um polinômio de grau no máximo 2: r(x) = ax² + bx + c.
Sabemos que o resto da divisão de p(x) por (x-1) é -2. Portanto, p(1) = -2. Como r(x) é o resto da divisão por (x - 1)(x² - 4), então p(x) = (x - 1)(x² - 4)Q(x) + r(x), e ao substituir x=1, o termo (x - 1)(x² - 4)Zera, logo p(1) = r(1) = -2.
Também, o resto da divisão de p(x) por (x² - 4) é x+3. Como x² - 4 = (x - 2)(x + 2), o resto ao dividir por esse polinômio é um polinômio de grau menor que 2, ou seja, de grau máximo 1, e é dado por x + 3.
Como p(x) = (x - 1)(x² - 4)Q(x) + r(x), quando dividimos por (x² - 4), o resto é r(x) modulo (x² - 4). Ou seja, r(x) = (x² - 4)S(x) + (x + 3). Como r(x) tem grau 2 no máximo, e o resto da divisão de r(x) por (x² - 4) é (x + 3), isso implica que r(x) = (x² - 4)k + (x + 3), para algum coeficiente k real.
Sendo assim, escrevemos r(x) = a x² + b x + c e temos:
r(x) modulo (x - 1): r(1) = -2
r(x) modulo (x² - 4): Quando dividimos r(x) por x² - 4, o resto é x + 3, o que significa que r(x) e x + 3 são iguais ao substituir x = 2 e x = -2 (raízes de x² - 4 = 0).
Portanto:
r(1) = a + b + c = -2
r(2) = 4a + 2b + c = 2 + 3 = 5
r(-2) = 4a - 2b + c = -2 + 3 = 1
Agora, temos o sistema:
1) a + b + c = -2
2) 4a + 2b + c = 5
3) 4a - 2b + c = 1
Subtraindo (1) de (2): (4a - a) + (2b - b) + (c - c) = 5 - (-2) => 3a + b = 7
Subtraindo (1) de (3): (4a - a) + (-2b - b) + (c - c) = 1 - (-2) => 3a - 3b = 3
Agora, temos:
3a + b = 7
3a - 3b = 3
Subtraindo as duas: (3a + b) - (3a - 3b) = 7 - 3 => b + 3b = 4 => 4b = 4 => b = 1
Substituindo b=1 em 3a + b = 7:
3a + 1 = 7
3a = 6
a = 2
Finalmente, usando a + b + c = -2:
2 + 1 + c = -2
3 + c = -2
c = -5
Agora que temos r(x) = 2x² + x -5, podemos calcular r(-1):
r(-1) = 2(1) + (-1) - 5 = 2 - 1 - 5 = -4
Portanto, o valor de r(-1) é -4, que corresponde à alternativa a).