O polinômio p(

Vamos analisar o polinômio dado: p(x) = x^4 − 2x^3 − 6x^2 + 8x + 8. Como o grau é 4, ele possui quatro raízes. A questão nos informa que ele tem duas raízes racionais (a e b) e duas irracionais (c e d), com c > d. Para encontrar as raízes racionais, podemos usar o Teorema do Racional, que diz que as possíveis raízes racionais são os divisores do termo independente (8) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1), ou seja, ±1, ±2, ±4, ±8.

Vamos testar algumas dessas raízes no polinômio para encontrar as racionais. Testando x=1: p(1) = 1 - 2 - 6 + 8 + 8 = 9 ≠ 0; x=2: 16 - 16 - 24 + 16 + 8 = 0, logo x=2 é raiz.
Testando x=-1: 1 + 2 - 6 - 8 + 8 = -3 ≠ 0; x=-2: 16 + 16 - 24 - 16 + 8 = 0, logo x=-2 é raiz.

Então, as raízes racionais são 2 e -2. Podemos então dividir o polinômio p(x) por (x-2)(x+2) = x^2 - 4 para encontrar o polinômio quadrático que gera as raízes irracionais.

Dividindo p(x) por (x^2 - 4), encontramos:
p(x) ÷ (x^2 - 4) = x^2 - 2x - 2

Este é o polinômio cuja raiz são as raízes irracionais c e d.

Para encontrar c e d, usamos a fórmula de Bhaskara no polinômio x^2 - 2x - 2 = 0:
x = [2 ± sqrt(4 + 8)] / 2 = [2 ± sqrt(12)] / 2 = [2 ± 2sqrt(3)] / 2 = 1 ± sqrt(3)

Logo, as raízes irracionais são c = 1 + sqrt(3) e d = 1 - sqrt(3), com c > d conforme enunciado.

Finalmente, precisamos calcular c/d:

c/d = (1 + sqrt(3)) / (1 - sqrt(3))

Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador (1 + sqrt(3)):

c/d = ((1 + sqrt(3)) * (1 + sqrt(3))) / ((1 - sqrt(3)) * (1 + sqrt(3))) = (1 + 2sqrt(3) + 3) / (1 - 3) = (4 + 2sqrt(3)) / (-2) = -2 - sqrt(3)

Então, c/d = -2 - sqrt(3).

Comparando com as opções dadas, a alternativa correta é a letra d).