Equipe Gabarite
EQUIPE
11/10/2026 • 21:01
Vamos falar um pouco sobre a distribuição de Poisson e estimadores não viesados. A variável X tem distribuição Poisson com parâmetro θ, então temos que o valor esperado de X é E[X] = θ e a variância é Var(X) = θ. Nosso objetivo é encontrar um estimador não viesado para θ^2, ou seja, queremos uma função de X cujo valor esperado seja exatamente θ^2.
Começando, sabemos que:
E[X] = θ
E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 = θ + θ^2
Nós queremos um estimador da forma aX^2 + bX, para adequar essa combinação de modo que o valor esperado seja θ^2.
Calculando o valor esperado:
E[aX^2 + bX] = aE[X^2] + bE[X] = a(θ + θ^2) + bθ = aθ^2 + aθ + bθ = aθ^2 + (a + b)θ.
Queremos que isso seja igual a θ^2 para todo θ, ou seja:
aθ^2 + (a + b)θ = θ^2
Isso implica que:
a = 1
e
a + b = 0 → b = -1
Portanto, o estimador não viesado para θ^2 é X^2 - X.
Analisando as alternativas, a que corresponde a essa expressão é a letra c), X^2 - X.
Começando, sabemos que:
E[X] = θ
E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 = θ + θ^2
Nós queremos um estimador da forma aX^2 + bX, para adequar essa combinação de modo que o valor esperado seja θ^2.
Calculando o valor esperado:
E[aX^2 + bX] = aE[X^2] + bE[X] = a(θ + θ^2) + bθ = aθ^2 + aθ + bθ = aθ^2 + (a + b)θ.
Queremos que isso seja igual a θ^2 para todo θ, ou seja:
aθ^2 + (a + b)θ = θ^2
Isso implica que:
a = 1
e
a + b = 0 → b = -1
Portanto, o estimador não viesado para θ^2 é X^2 - X.
Analisando as alternativas, a que corresponde a essa expressão é a letra c), X^2 - X.