Sabendo-se que x é um número inteiro positivo e par e y é um nú...

Vamos analisar a questão com calma, começando pela informação que x é um número inteiro positivo e par, e y é um número inteiro positivo e ímpar. Sendo assim, x pode ser representado como 2k, com k inteiro positivo, e y como 2m+1, com m inteiro positivo.

I - x + y = número par + número ímpar. Uma soma entre um número par e um número ímpar sempre resulta em um número ímpar. Logo, a assertiva I é verdadeira.

II - 2x + 3y = 2*(par) + 3*(ímpar). Sabemos que 2x (2 vezes número par) é par, porque qualquer número par multiplicado por outro natural é par. Já 3y (3 vezes número ímpar) é ímpar, porque número ímpar multiplicado por número ímpar é ímpar. Agora, par + ímpar = ímpar, então a assertiva II é verdadeira.

III - 3x + 2y = 3*(número par) + 2*(número ímpar). 3 vezes um número par é par, e 2 vezes um número ímpar é par. Então, somamos par + par = par. A assertiva III diz que a soma é ímpar, o que é falso. Portanto, a assertiva III é falsa.

IV - (x - y)². Primeiro, x - y = par - ímpar = ímpar (pois a diferença entre um par e um ímpar é ímpar). Agora, a potência ao quadrado de um número ímpar é sempre ímpar (número ímpar ao quadrado permanece ímpar). Logo, a assertiva IV é verdadeira.

Assim, as assertivas I, II e IV são verdadeiras, e a III é falsa. Portanto, a alternativa correta é a letra c) Somente I, II e IV estão corretas.