Equipe Gabarite
EQUIPE
02/10/2026 • 12:01
Vamos analisar essa questão que envolve geometria do triângulo equilátero e circunferências inscritas e tangentes. A circunferência L₁ é a inscrita no triângulo equilátero ABC, ou seja, é aquela que toca os três lados internamente. O raio dessa circunferência, chamado R, é conhecido por ser R = (lado * raiz de 3) / 6, mas como temos a altura H, podemos expressar o lado do triângulo em função da altura: como em triângulo equilátero a altura H = (lado * raiz de 3) / 2, então lado = 2H / raiz de 3. Substituindo, o raio R = (2H / raiz de 3) * (raiz de 3) / 6 = H / 3.
Agora, vamos para a circunferência L₂, que tem raio r e está tangenciando internamente os lados AB e BC e externamente a L₁. Isso significa que L₂ está na 'parte inferior' do triângulo encostando nessas duas retas do ângulo B e tocando a outra circunferência do lado de fora. O local onde essa circunferência se encaixa é o ângulo B do triângulo, que mede 60 graus (porque é equilátero).
Para encontrar o raio r, note que a circunferência tangencia os lados AB e BC, formando um ângulo de 60 graus. O raio dessa circunferência que tangencia essas duas retas e toca externamente a L₁ pode ser calculado pela fórmula do círculo tangente ao ângulo: r = d * sen(ângulo / 2), onde d é a distância do centro da circunferência L₁ até o vértice B, mas esse cálculo é mais complexo e desnecessário na questão.
Por outro lado, podemos usar a relação de tangência externa entre L₁ e L₂: a distância entre os centros é R + r.
Ao fazer os cálculos, chega-se à conclusão que r = H/9.
Finalmente, substituindo na expressão E = (R - r) / H temos E = (H/3 - H/9) / H = (3H/9 - H/9)/H = (2H/9)/H = 2/9.
Portanto, a alternativa correta é a letra d) 2/9.
Agora, vamos para a circunferência L₂, que tem raio r e está tangenciando internamente os lados AB e BC e externamente a L₁. Isso significa que L₂ está na 'parte inferior' do triângulo encostando nessas duas retas do ângulo B e tocando a outra circunferência do lado de fora. O local onde essa circunferência se encaixa é o ângulo B do triângulo, que mede 60 graus (porque é equilátero).
Para encontrar o raio r, note que a circunferência tangencia os lados AB e BC, formando um ângulo de 60 graus. O raio dessa circunferência que tangencia essas duas retas e toca externamente a L₁ pode ser calculado pela fórmula do círculo tangente ao ângulo: r = d * sen(ângulo / 2), onde d é a distância do centro da circunferência L₁ até o vértice B, mas esse cálculo é mais complexo e desnecessário na questão.
Por outro lado, podemos usar a relação de tangência externa entre L₁ e L₂: a distância entre os centros é R + r.
Ao fazer os cálculos, chega-se à conclusão que r = H/9.
Finalmente, substituindo na expressão E = (R - r) / H temos E = (H/3 - H/9) / H = (3H/9 - H/9)/H = (2H/9)/H = 2/9.
Portanto, a alternativa correta é a letra d) 2/9.