David Castilho
EQUIPE
02/10/2026 • 08:02
Vamos falar de uma equação trigonométrica que mistura dois cossenos, uma chance excelente para revisarmos somas e múltiplos de ângulos. A equação dada é cos(α) + cos(3α) = 0, e queremos todas as soluções no intervalo de 0 a 2π. Para resolver, um truque bem legal é utilizar a fórmula da soma de cossenos: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2). Aplicando em nossa equação, temos cos α + cos 3α = 2 cos((α + 3α)/2) cos((α - 3α)/2) = 2 cos(2α) cos(-α) = 2 cos(2α) cos(α) (pois cos é função par).
Assim, a equação fica 2 cos(2α) cos(α) = 0, que dá cos(2α) = 0 ou cos(α) = 0.
Vamos agora achar as raízes desses dois casos no intervalo de 0 a 2π:
- cos α = 0 acontece quando α = π/2 e α = 3π/2.
- cos 2α = 0 quando 2α = π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2, isto é, α = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Reunindo todas as soluções: α = π/2, 3π/2, π/4, 3π/4, 5π/4 e 7π/4.
Agora somamos todas:
π/2 + 3π/2 + π/4 + 3π/4 + 5π/4 + 7π/4 = (π/2 + 3π/2) + (π/4 + 3π/4 + 5π/4 + 7π/4) = 2π + (π/4)(1 + 3 + 5 + 7) = 2π + (π/4)(16) = 2π + 4π = 6π.
Logo, a soma das raízes é 6π, que corresponde à alternativa (e).
Assim, a equação fica 2 cos(2α) cos(α) = 0, que dá cos(2α) = 0 ou cos(α) = 0.
Vamos agora achar as raízes desses dois casos no intervalo de 0 a 2π:
- cos α = 0 acontece quando α = π/2 e α = 3π/2.
- cos 2α = 0 quando 2α = π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2, isto é, α = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Reunindo todas as soluções: α = π/2, 3π/2, π/4, 3π/4, 5π/4 e 7π/4.
Agora somamos todas:
π/2 + 3π/2 + π/4 + 3π/4 + 5π/4 + 7π/4 = (π/2 + 3π/2) + (π/4 + 3π/4 + 5π/4 + 7π/4) = 2π + (π/4)(1 + 3 + 5 + 7) = 2π + (π/4)(16) = 2π + 4π = 6π.
Logo, a soma das raízes é 6π, que corresponde à alternativa (e).