Considere as retas r: 4

Vamos analisar a questão de geometria analítica que envolve retas e área de triângulo formada pelos interceptos nos eixos coordenados.
Primeiro, temos a reta r: 4x + 5y = 0. Podemos encontrar seu coeficiente angular (inclinação) para facilitar a análise: isole y, temos 5y = -4x, logo y = (-4/5) x, então o coeficiente angular m_r = -4/5.
Como a reta s: y = ax + b é perpendicular à r, seu coeficiente angular m_s deve ser o negativo do inverso do coeficiente angular de r, então m_s = a = 5/4.
Sabemos que b < 0, ou seja, a reta intercepta o eixo y abaixo da origem. Para encontrar a área do triângulo formada por s com os eixos coordenados, precisamos dos interceptos:
- Intercepto y: (0, b)
- Intercepto x: para y = 0, 0 = a x + b → x = -b / a
A área do triângulo formado é (1/2) * base * altura = (1/2) * (|-b/a|) * (|b|) = (1/2) * (-b / a) * (-b) (pois b < 0, então -b > 0). Simplificando a área = (1/2) * (b^2 / a).
A área é dada como 10, então 10 = (1/2)(b^2 / a) => 20 = b^2 / a => b^2 = 20 a. Como a = 5/4, temos b^2 = 20 * (5/4) = 25, logo b = -5 (considerando b < 0).
Por fim, queremos a + b = 5/4 + (-5) = 5/4 - 5 = 5/4 - 20/4 = -15/4.
Portanto, a resposta correta é a alternativa e) -15/4.