Em um ano, uma prefeitura apresentou o rela...

Esta questão envolve funções quadráticas e a interpretação de uma parábola que representa os gastos mensais de uma prefeitura ao longo de um ano. Sabemos que o gráfico é uma parábola cujo vértice, que representa o ponto de maior gasto, ocorre no mês 8, e que em janeiro (mês 1) e dezembro (mês 12) os valores dos gastos são dados.

A função tem a forma geral T(x) = ax^2 + bx + c, onde T(x) é o gasto em milhar de reais e x é o mês. O maior gasto no mês 8 indica que o vértice da parábola está em x=8 e que a concavidade é para baixo (a < 0), pois o vértice é máximo.

Para encontrar a função correta, podemos usar o fato de que o vértice em x=8 dá a fórmula do vértice x_v = -b/(2a) = 8, o que implica b = -16a. Também sabemos os pontos (1, 72) e (12, 105).

Substituindo c = T(0), mas não temos o mês zero, então usamos diretamente os pontos dados para montar o sistema:

T(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 72
T(12) = a(12)^2 + b(12) + c = 144a + 12b + c = 105

Sabemos que b = -16a, então substituímos:

1) a -16a + c = 72 => -15a + c = 72
2) 144a + 12(-16a) + c = 105 => 144a -192a + c = 105 => -48a + c = 105

Subtraindo 1) de 2): (-48a + c) - (-15a + c) = 105 - 72 => -48a + c +15a - c = 33 => -33a = 33 => a = -1

Com a = -1, então b = -16a = -16(-1) = 16

Usando 1): -15(-1) + c = 72 => 15 + c = 72 => c = 57

Dessa forma, a função é T(x) = -x^2 + 16x + 57.

Esta corresponde à alternativa (a).