Equipe Gabarite
EQUIPE
07/10/2026 • 06:02
Vamos analisar essa questão que envolve progressão aritmética (PA) e propriedades geométricas de esferas. É um ótimo exercício para revisar fórmulas de volume e área da esfera e como interpretar sequências numéricas.
Primeiro, como os raios estão em PA com razão 2, podemos representar os três raios como r, r+2, e r+4, onde r é o menor raio.
Analisando a afirmação I: O volume da esfera é dado por V = (4/3)πr³. Logo, o volume da menor esfera é V1 = (4/3)πr³ e o da maior é V3 = (4/3)π(r+4)³. Queremos saber se V3 = 2 * V1, ou seja, (r+4)³ = 2r³. Vamos expandir:
(r+4)³ = r³ + 3* r² * 4 + 3 * r * 4² + 4³ = r³ + 12 r² + 48 r + 64
Então, a igualdade para o dobro seria: r³ + 12 r² + 48 r + 64 = 2 r³ => 12 r² + 48 r + 64 = r³
Ou seja: r³ - 12 r² - 48 r - 64 = 0. Não é uma identidade verdadeira para todo r, então I é falso.
Afirmação II: Precisamos calcular a soma dos volumes das três esferas.
Soma V = (4/3)π [r³ + (r+2)³ + (r+4)³].
Expandindo (r+2)³ = r³ + 6 r² + 12 r + 8
Expansão já feita para (r+4)³ acima.
Somando:
r³ + (r³ + 6 r² + 12 r +8) + (r³ + 12 r² + 48 r + 64) =
3 r³ +18 r² + 60 r + 72
Multiplicando por (4/3)π:
(4/3)π (3 r³ +18 r² +60 r +72) = 4 π (r³ +6 r² +20 r +24)
Exatamente a expressão dada. Logo, II é verdadeira.
Afirmação III: Área da superfície da esfera é A = 4 π r².
Área da esfera intermediária: A2 = 4 π (r+2)² = 4 π (r² + 4 r + 4)
Áreas das outras duas:
A1 = 4 π r²
A3 = 4 π (r+4)² = 4 π (r² + 8 r + 16)
Média aritmética A_m = (A1 + A3) / 2 = (4 π r² + 4 π (r² + 8 r + 16)) / 2 = 4 π (2 r² + 8 r + 16) / 2 = 2 π (r² + 4 r + 8)
Comparando A2 = 4 π (r² + 4 r + 4)
Repare, A2 e A_m só são iguais se:
4 π (r² + 4 r + 4) = 2 π (r² + 4 r + 8)
Dividindo por 2 π:
2 (r² + 4 r + 4) = r² + 4 r + 8
Expandindo: 2 r² + 8 r + 8 = r² + 4 r + 8
Simplificando: r² + 4 r = 0 => r (r + 4) = 0
Como r > 0, isso não se satisfaz. Logo, III é falsa.
Considerando as análises, somente II é verdadeira.
Gabarito correto: e) II apenas
Primeiro, como os raios estão em PA com razão 2, podemos representar os três raios como r, r+2, e r+4, onde r é o menor raio.
Analisando a afirmação I: O volume da esfera é dado por V = (4/3)πr³. Logo, o volume da menor esfera é V1 = (4/3)πr³ e o da maior é V3 = (4/3)π(r+4)³. Queremos saber se V3 = 2 * V1, ou seja, (r+4)³ = 2r³. Vamos expandir:
(r+4)³ = r³ + 3* r² * 4 + 3 * r * 4² + 4³ = r³ + 12 r² + 48 r + 64
Então, a igualdade para o dobro seria: r³ + 12 r² + 48 r + 64 = 2 r³ => 12 r² + 48 r + 64 = r³
Ou seja: r³ - 12 r² - 48 r - 64 = 0. Não é uma identidade verdadeira para todo r, então I é falso.
Afirmação II: Precisamos calcular a soma dos volumes das três esferas.
Soma V = (4/3)π [r³ + (r+2)³ + (r+4)³].
Expandindo (r+2)³ = r³ + 6 r² + 12 r + 8
Expansão já feita para (r+4)³ acima.
Somando:
r³ + (r³ + 6 r² + 12 r +8) + (r³ + 12 r² + 48 r + 64) =
3 r³ +18 r² + 60 r + 72
Multiplicando por (4/3)π:
(4/3)π (3 r³ +18 r² +60 r +72) = 4 π (r³ +6 r² +20 r +24)
Exatamente a expressão dada. Logo, II é verdadeira.
Afirmação III: Área da superfície da esfera é A = 4 π r².
Área da esfera intermediária: A2 = 4 π (r+2)² = 4 π (r² + 4 r + 4)
Áreas das outras duas:
A1 = 4 π r²
A3 = 4 π (r+4)² = 4 π (r² + 8 r + 16)
Média aritmética A_m = (A1 + A3) / 2 = (4 π r² + 4 π (r² + 8 r + 16)) / 2 = 4 π (2 r² + 8 r + 16) / 2 = 2 π (r² + 4 r + 8)
Comparando A2 = 4 π (r² + 4 r + 4)
Repare, A2 e A_m só são iguais se:
4 π (r² + 4 r + 4) = 2 π (r² + 4 r + 8)
Dividindo por 2 π:
2 (r² + 4 r + 4) = r² + 4 r + 8
Expandindo: 2 r² + 8 r + 8 = r² + 4 r + 8
Simplificando: r² + 4 r = 0 => r (r + 4) = 0
Como r > 0, isso não se satisfaz. Logo, III é falsa.
Considerando as análises, somente II é verdadeira.
Gabarito correto: e) II apenas