Camila Duarte
EQUIPE
06/10/2026 • 23:01
Vamos entender a questão primeiro. Temos uma progressão aritmética (PA) e uma progressão geométrica (PG) que compartilham o mesmo primeiro termo 'a', que é maior que zero. A PA tem razão 'r' e a PG razão 'q', sendo 'q' também maior que zero. As relações dadas são a^5 = b^3 e a^9 = b^4, onde 'a' e 'b' representam os termos gerais da PA e da PG, respectivamente.
Nas progressões, o n-ésimo termo é dado por: para a PA, an = a + (n-1)r; para a PG, bn = a * q^(n-1). Vamos usar essas fórmulas nas equações fornecidas.
Da primeira relação, a^5 = b^3, temos: a + 4r = a * q^2. Da segunda, a^9 = b^4, temos: a + 8r = a * q^3.
Substituindo an e bn, obtemos dois sistemas:
1) a + 4r = a q^2
2) a + 8r = a q^3
Subtraindo (1) de (2), temos (a + 8r) - (a + 4r) = a q^3 - a q^2 => 4r = a q^2 (q - 1).
Da equação (1), isolamos r:
r = (a q^2 - a) / 4 = a (q^2 - 1) / 4.
Igualando os dois valores para 4r:
4r = a q^2 (q - 1) = a (q^2 - 1)
Dividindo ambos os lados por a, que não é zero, temos:
q^2 (q - 1) = q^2 - 1.
Simplificando:
q^3 - q^2 = q^2 - 1
Levando todos os termos para um lado:
q^3 - q^2 - q^2 + 1 = 0
q^3 - 2 q^2 + 1 = 0
Agora, precisamos encontrar as raízes positivas dessa equação cúbica q^3 - 2 q^2 + 1 = 0.
Testando q=1: 1 - 2 + 1 = 0, então q=1 é raiz. Dividindo o polinômio por (q -1), sobra q^2 - q - 1 = 0.
Resolvendo essa equação quadrática:
q = [1 ± sqrt(1 + 4)] / 2 = [1 ± sqrt(5)] / 2.
Como q > 0, podemos descartar a raiz negativa, ficando q = (1 + sqrt(5))/2.
Entre as alternativas, essa corresponde à opção b). Portanto, o valor de q é (1 + sqrt(5)) / 2.
Gabarito: b.
Nas progressões, o n-ésimo termo é dado por: para a PA, an = a + (n-1)r; para a PG, bn = a * q^(n-1). Vamos usar essas fórmulas nas equações fornecidas.
Da primeira relação, a^5 = b^3, temos: a + 4r = a * q^2. Da segunda, a^9 = b^4, temos: a + 8r = a * q^3.
Substituindo an e bn, obtemos dois sistemas:
1) a + 4r = a q^2
2) a + 8r = a q^3
Subtraindo (1) de (2), temos (a + 8r) - (a + 4r) = a q^3 - a q^2 => 4r = a q^2 (q - 1).
Da equação (1), isolamos r:
r = (a q^2 - a) / 4 = a (q^2 - 1) / 4.
Igualando os dois valores para 4r:
4r = a q^2 (q - 1) = a (q^2 - 1)
Dividindo ambos os lados por a, que não é zero, temos:
q^2 (q - 1) = q^2 - 1.
Simplificando:
q^3 - q^2 = q^2 - 1
Levando todos os termos para um lado:
q^3 - q^2 - q^2 + 1 = 0
q^3 - 2 q^2 + 1 = 0
Agora, precisamos encontrar as raízes positivas dessa equação cúbica q^3 - 2 q^2 + 1 = 0.
Testando q=1: 1 - 2 + 1 = 0, então q=1 é raiz. Dividindo o polinômio por (q -1), sobra q^2 - q - 1 = 0.
Resolvendo essa equação quadrática:
q = [1 ± sqrt(1 + 4)] / 2 = [1 ± sqrt(5)] / 2.
Como q > 0, podemos descartar a raiz negativa, ficando q = (1 + sqrt(5))/2.
Entre as alternativas, essa corresponde à opção b). Portanto, o valor de q é (1 + sqrt(5)) / 2.
Gabarito: b.