Matheus Fernandes
EQUIPE
06/10/2026 • 22:02
Vamos analisar essa questão que envolve um tronco de pirâmide regular com base hexagonal e dimensões que formam uma progressão geométrica. O enunciado fala que o lado da base menor (a), o lado da base maior (b) e a altura (h) formam uma progressão geométrica (PG) com razão r > 0, e que o primeiro termo a está entre 3/2 e 2. Ou seja, temos a, a*r, a*r^2 = lados menor, maior, e altura respectivamente.
O volume do tronco de pirâmide é dado pela fórmula V = (h/3) * (A + B + sqrt(A*B)), onde A e B são as áreas das bases menor e maior. Como a base é hexagonal regular, sua área é A = (3√3/2) * lado^2.
Assim, para a base menor: A = (3√3/2) * a^2.
Para a base maior: B = (3√3/2) * (a*r)^2 = (3√3/2) * a^2 * r^2.
Substituindo na fórmula do volume:
126 = (h/3) * [A + B + sqrt(A*B)]
126 = (a*r^2)/3 * [ (3√3/2)a^2 + (3√3/2)a^2 r^2 + sqrt( (3√3/2)a^2 * (3√3/2)a^2 r^2 ) ]
Simplificando e reorganizando a expressão, podemos encontrar a relação entre a e r que satisfaça o volume dado.
Como a altura h = a*r^2, e sabemos que a, a*r, a*r^2 estão em PG, podemos usar a fórmula do volume para resolver r e a, respeitando que a está no intervalo ]3/2, 2[.
Depois, para calcular o ângulo entre a face lateral e a base maior, usamos a geometria do tronco: o ângulo é formado entre a face lateral (uma face trapezoidal inclinada) e a base maior. Essa inclinação depende da diferença dos lados da base e da altura, e por isso podemos calcular tg(θ) como a razão entre a altura e a apótema da diferença dos lados da base.
Fazendo as contas com os valores adequados, chega-se ao resultado que o ângulo é arctg(8√3/3).
Portanto, a alternativa correta é a letra a).
O volume do tronco de pirâmide é dado pela fórmula V = (h/3) * (A + B + sqrt(A*B)), onde A e B são as áreas das bases menor e maior. Como a base é hexagonal regular, sua área é A = (3√3/2) * lado^2.
Assim, para a base menor: A = (3√3/2) * a^2.
Para a base maior: B = (3√3/2) * (a*r)^2 = (3√3/2) * a^2 * r^2.
Substituindo na fórmula do volume:
126 = (h/3) * [A + B + sqrt(A*B)]
126 = (a*r^2)/3 * [ (3√3/2)a^2 + (3√3/2)a^2 r^2 + sqrt( (3√3/2)a^2 * (3√3/2)a^2 r^2 ) ]
Simplificando e reorganizando a expressão, podemos encontrar a relação entre a e r que satisfaça o volume dado.
Como a altura h = a*r^2, e sabemos que a, a*r, a*r^2 estão em PG, podemos usar a fórmula do volume para resolver r e a, respeitando que a está no intervalo ]3/2, 2[.
Depois, para calcular o ângulo entre a face lateral e a base maior, usamos a geometria do tronco: o ângulo é formado entre a face lateral (uma face trapezoidal inclinada) e a base maior. Essa inclinação depende da diferença dos lados da base e da altura, e por isso podemos calcular tg(θ) como a razão entre a altura e a apótema da diferença dos lados da base.
Fazendo as contas com os valores adequados, chega-se ao resultado que o ângulo é arctg(8√3/3).
Portanto, a alternativa correta é a letra a).