Equipe Gabarite
EQUIPE
06/10/2026 • 00:02
Vamos entender essa questão que envolve polinômios e suas raízes. A equação dada é um polinômio de quarto grau: x^4 - 15x^3 + 20x^2 + 240x - 576 = 0. Sabemos que as raízes são a, b, c e d. O enunciado ainda nos dá uma informação importante: a + b = 0, ou seja, essas duas raízes são opostas. Isso sugere que, se a é uma raiz, b é -a.
O primeiro passo para problemas assim é lembrar das relações entre coeficientes e raízes de polinômios. Pelo Teorema de Viète, a soma das raízes (a + b + c + d) é igual ao coeficiente de x^3 com sinal trocado, ou seja, 15. Como a + b = 0, então c + d deve ser 15.
Além disso, o produto das raízes (a * b * c * d) é o termo constante (-576) com sinal ajustado. Como o grau é 4, o produto é igual a (-1)^4 * (-576) = -576. Mas o mais importante aqui é explorar o fato que a e b são opostos, então a * b = -a^2.
Podemos tentar fatorar o polinômio em dois quadráticos, já que temos essa informação:
(x^2 - t)(x^2 - 15x + m) = 0
Essa estrutura tenta refletir as raízes a e b com soma zero no primeiro quadrático. Ou ainda, mais matematicamente, podemos tentar decompor o polinômio com base nessa condição.
Ou diretamente, podemos observar que se a + b = 0, então a e b são raízes de x^2 - s = 0, onde s = a^2, pois as raízes são ±sqrt(s). Vamos testar possíveis raízes (inteiras) usando o teorema do resto ou o teste de raízes racionais dividindo os fatores de -576 pelo fator líder 1.
Testando a raiz x = 4:
4^4 - 15 * 4^3 + 20 * 4^2 + 240 * 4 - 576 = 256 - 960 + 320 + 960 - 576 =
256 - 960 = -704 + 320 = -384 + 960 = 576 - 576 = 0
Então 4 é raiz.
Já a soma a + b = 0, então a e b provavelmente são +4 e -4.
Como um par de raízes são 4 e -4, o outro par soma 15 - (4 - 4) = 15. Então c + d = 15.
O produto a * b * c * d = -576.
Como a * b = 4 * (-4) = -16, então c * d = (-576) / (-16) = 36.
Então precisamos achar duas raízes c e d que somam 15 e multiplicam 36.
Essas raízes são 12 e 3, pois 12 + 3 = 15 e 12 * 3 = 36.
Dessa forma, as raízes são -4, 4, 3 e 12.
A maior raiz é 12, cujo algarismo das unidades é 2.
Assim, a resposta correta é a letra b) 2.
O primeiro passo para problemas assim é lembrar das relações entre coeficientes e raízes de polinômios. Pelo Teorema de Viète, a soma das raízes (a + b + c + d) é igual ao coeficiente de x^3 com sinal trocado, ou seja, 15. Como a + b = 0, então c + d deve ser 15.
Além disso, o produto das raízes (a * b * c * d) é o termo constante (-576) com sinal ajustado. Como o grau é 4, o produto é igual a (-1)^4 * (-576) = -576. Mas o mais importante aqui é explorar o fato que a e b são opostos, então a * b = -a^2.
Podemos tentar fatorar o polinômio em dois quadráticos, já que temos essa informação:
(x^2 - t)(x^2 - 15x + m) = 0
Essa estrutura tenta refletir as raízes a e b com soma zero no primeiro quadrático. Ou ainda, mais matematicamente, podemos tentar decompor o polinômio com base nessa condição.
Ou diretamente, podemos observar que se a + b = 0, então a e b são raízes de x^2 - s = 0, onde s = a^2, pois as raízes são ±sqrt(s). Vamos testar possíveis raízes (inteiras) usando o teorema do resto ou o teste de raízes racionais dividindo os fatores de -576 pelo fator líder 1.
Testando a raiz x = 4:
4^4 - 15 * 4^3 + 20 * 4^2 + 240 * 4 - 576 = 256 - 960 + 320 + 960 - 576 =
256 - 960 = -704 + 320 = -384 + 960 = 576 - 576 = 0
Então 4 é raiz.
Já a soma a + b = 0, então a e b provavelmente são +4 e -4.
Como um par de raízes são 4 e -4, o outro par soma 15 - (4 - 4) = 15. Então c + d = 15.
O produto a * b * c * d = -576.
Como a * b = 4 * (-4) = -16, então c * d = (-576) / (-16) = 36.
Então precisamos achar duas raízes c e d que somam 15 e multiplicam 36.
Essas raízes são 12 e 3, pois 12 + 3 = 15 e 12 * 3 = 36.
Dessa forma, as raízes são -4, 4, 3 e 12.
A maior raiz é 12, cujo algarismo das unidades é 2.
Assim, a resposta correta é a letra b) 2.