A respeito dos números complexos, julgue o it...

Vamos analisar a questão que trata de raízes de um polinômio no conjunto dos números complexos e sua relação com a geometria no plano complexo.

O polinômio dado é z^3 - 3z^2 + 3z = 0. Primeiramente, note que podemos fatorá-lo como z(z^2 - 3z + 3) = 0.

A raiz z=0 é evidente. Para as outras duas raízes, devemos resolver z^2 - 3z + 3 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara, temos: z = [3 ± sqrt(9 - 12)]/2 = (3 ± i√3)/2. Assim, as raízes são: z1=0, z2=(3 + i√3)/2, z3=(3 - i√3)/2.

Agora, vamos verificar se essas raízes estão sobre o círculo de centro (1, 0) e raio 1, ou seja, se para cada raiz z = x + iy, (x-1)^2 + y^2 = 1.

Para z1=0, temos (0-1)^2 + 0^2 = 1^2 + 0 =1, que satisfaz.

Para z2, x=3/2=1.5 e y=√3/2 ≈0.866. Calculando, (1.5 -1)^2 + (0.866)^2 = (0.5)^2 + (0.866)^2 = 0.25 + 0.75 =1.

Para z3, x=1.5 e y= -0.866, o cálculo é idêntico ao de z2, também igual a 1.

Portanto, as três raízes são vértices de um triângulo inscrito no círculo de centro (1, 0) e raio 1, como afirmado.

Gabarito: certo.