Julgue o item que se segue, relativo a matriz...

Vamos analisar a questão sobre matrizes e sistemas lineares. A questão nos dá uma matriz P de ordem n que satisfaz a equação P² + 2P + I = 0, onde I é a matriz identidade e 0 é a matriz nula, ambas de ordem n.

Para verificar se P é invertível, podemos tentar manipular a equação dada. Reescrevendo: P² + 2P + I = 0. Isso é equivalente a P² + 2P = -I.

Agora, tentamos fatorar a expressão do lado esquerdo: P² + 2P = P(P + 2I).

Assim, temos P(P + 2I) = -I.

Multiplicando ambos os lados por -1, fica P(P + 2I) = -I, o que indica que P não multiplicado por (P + 2I) nos dá a matriz negativa da identidade.

Isso significa que P é inversível e o inverso de P é dado por -(P + 2I), pois:
P * [-(P + 2I)] = -P(P + 2I) = I.

Portanto, P é uma matriz invertível e sua inversa é -(P + 2I).

Assim, a afirmação do item está correta.