A soma do número de diagonais de dois polígonos convexos é 44. Sabe-se que um...

Vamos entender o problema. A questão fala de dois polígonos convexos, e a soma do número de diagonais deles é 44. Também diz que um dos polígonos tem quatro lados a mais do que o outro.

Sabemos que o número de diagonais de um polígono de n lados é dado pela fórmula D = n(n - 3)/2.

Chamemos o número de lados do polígono menor de x. Então o outro polígono tem x + 4 lados.

O número de diagonais do polígono menor é x(x - 3)/2, e do maior é (x + 4)(x + 4 - 3)/2 = (x + 4)(x + 1)/2.

A soma das diagonais é:
(x(x - 3)/2) + ((x + 4)(x + 1)/2) = 44
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
x(x - 3) + (x + 4)(x + 1) = 88
Expandindo:
x^2 - 3x + (x^2 + x + 4x + 4) = 88
x^2 - 3x + x^2 + 5x + 4 = 88
2x^2 + 2x + 4 = 88
2x^2 + 2x + 4 - 88 = 0
2x^2 + 2x - 84 = 0
Dividindo tudo por 2:
x^2 + x - 42 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
Delta = 1^2 - 4 * 1 * (-42) = 1 + 168 = 169
x = (-1 ± 13)/2
Duas soluções:
x = (-1 + 13)/2 = 12/2 = 6
x = (-1 - 13)/2 = -14/2 = -7 (descartamos pois número de lados não pode ser negativo)

Portanto, o polígono menor tem 6 lados e o maior tem 6 + 4 = 10 lados.

O polígono com maior número de lados é um decágono (10 lados).

Gabarito é a opção a) Decágono.