Oito bolas idênticas e de mesma cor devem ser...

Vamos analisar essa questão que envolve uma famosa combinação de bolas e gavetas, que é um clássico em conceitos de combinatória e arranjo. Aqui, temos 8 bolas idênticas para serem distribuídas em 3 gavetas, que são distintas (têm cores diferentes). Além disso, cada gaveta deve conter pelo menos uma bola e nenhuma pode conter mais que cinco bolas, pois esse é o limite de capacidade de cada uma.

Primeiro, se não houvesse limite de até 5 bolas por gaveta, o problema se reduziria a contar o número de soluções inteiras positivas para a equação x1+x2+x3=8, onde x_i é o número de bolas na gaveta i. A fórmula para o número de soluções em inteiros positivos seria C(8-1,3-1) = C(7,2) = 21.

Porém, precisamos considerar a restrição de que nenhuma gaveta pode conter mais que 5 bolas. Então devemos descontar as configurações onde alguma gaveta tem 6 ou mais bolas. Vamos verificar possibilidades:
- Se uma gaveta tiver 6 bolas, as outras duas precisam somar 2, cada uma com pelo menos 1 bola. Isso só é possível para uma só gaveta com 6 bolas, pois as outras então seriam 1 e 1.
- Se uma gaveta tivesse 7 ou 8 bolas, não é possível porque as outras devem ter pelo menos uma bola e só temos 8 ao total.

Assim, subtraímos as distribuições com 6 bolas em uma gaveta. Quantas são? Para cada gaveta que pode ter 6 bolas (3 gavetas), as outras duas têm que dividir 2 bolas, com pelo menos uma em cada gaveta. Ou seja, único arranjo (1,1) para as duas gavetas restantes.
Logo, temos 3 maneiras a retirar (6,1,1), (1,6,1), (1,1,6).

Assim, o total de maneiras válidas é 21 - 3 = 18.

Portanto, o número de maneiras distintas é 18, que corresponde à alternativa a).