Considerados dois eventos aleatórios E1 e E2, tais que ...

Vamos analisar juntos essa questão sobre probabilidade condicional e união de eventos. Inicialmente, temos dois eventos E1 e E2 e algumas informações sobre suas probabilidades condicionais e união.

A questão nos dá P(E1 ∩ E2 | E1) = 0,3. Isso significa que, dado que E1 ocorreu, a probabilidade de ocorrer E1 e E2 juntos é 0,3. Como a interseção E1 ∩ E2 dada E1 pode ser vista também como P(E2 | E1), pois E1 já é certo no condicionamento, temos P(E2 | E1) = 0,3.

Da mesma forma, temos P(E1 | E2) = 0,4.

Queremos encontrar P(E1).

Sabemos que P(E1 ∩ E2) = P(E1) * P(E2 | E1) = P(E1) * 0,3.

Separadamente, P(E1 ∩ E2) também é igual a P(E2) * P(E1 | E2) = P(E2) * 0,4.

Assim, P(E1) * 0,3 = P(E2) * 0,4, ou seja, P(E2) = (0,3 / 0,4) * P(E1) = 0,75 * P(E1).

Também temos a probabilidade da união: P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2) = 0,87.

Substituindo P(E2) e P(E1 ∩ E2):
P(E1) + 0,75 * P(E1) - 0,3 * P(E1) = 0,87
P(E1) * (1 + 0,75 - 0,3) = 0,87
P(E1) * 1,45 = 0,87
P(E1) = 0,87 / 1,45 ≈ 0,6

Portanto, a probabilidade da ocorrência do evento E1 é aproximadamente 0,6.

O gabarito correto é a letra c).