Para fins de estudo, uma espécie rara de insetos é criada em determinado labo...

Vamos analisar essa questão com calma, ela é sobre progressão geométrica (PG). Numa progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão fixa, chamada r.
Aqui, sabemos que no primeiro dia (a1) nasceram 5 insetos, e no quarto dia (a4) nasceram 135 insetos. Podemos usar a fórmula do termo geral da PG: a_n = a_1 * r^(n-1).
Aplicando para o quarto termo: 135 = 5 * r^(4-1) = 5 * r^3. Assim, r^3 = 135 / 5 = 27. Isso nos dá r = cubica de 27 = 3.
Agora que conhecemos r, podemos calcular o número de insetos de cada dia na primeira semana (7 dias). Os termos são: a1 = 5; a2 = 5*3=15; a3 = 15*3=45; a4 =135 (dado); a5=135*3=405; a6=405*3=1215; a7=1215*3=3645.
Precisamos somar todos esses valores para achar o total de nascimentos na primeira semana. Soma = a_1*(r^7 - 1)/(r - 1) = 5*(3^7 - 1)/(3 - 1) = 5*(2187 - 1)/2 = 5*2186/2 = 5*1093 = 5465.
Portanto, 5465 insetos nasceram na primeira semana.
Gabarito: alternativa b).