Marcos de Castro
EQUIPE
07/01/2025 • 07:35
Para resolver essa questão, vamos chamar o primeiro termo da progressão geométrica de \(a\), o segundo termo de \(ar\) e o terceiro termo de \(ar^2\), onde \(r\) é a razão da progressão.
De acordo com o enunciado, temos que o terceiro termo é igual à soma do triplo do primeiro termo com o dobro do segundo termo:
\[ar^2 = 3a + 2ar\]
Também sabemos que a soma desses três termos é igual a 26:
\[a + ar + ar^2 = 26\]
Agora vamos resolver esse sistema de equações. Vamos começar substituindo o valor de \(ar^2\) da primeira equação na segunda equação:
\[a + ar + 3a + 2ar = 26\]
Agrupando os termos semelhantes, temos:
\[4a + 3ar = 26\]
Agora vamos isolar \(a\) na primeira equação:
\[ar^2 = 3a + 2ar\]
\[ar^2 - 2ar = 3a\]
\[a(r^2 - 2r) = 3a\]
Como \(a \neq 0\), podemos dividir ambos os lados por \(a\):
\[r^2 - 2r = 3\]
\[r^2 - 2r - 3 = 0\]
Agora vamos resolver essa equação do segundo grau para encontrar os valores de \(r\).
\[\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\]
\[r = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}\]
\[r = \frac{2 \pm 4}{2}\]
Temos duas possibilidades para \(r\):
1) \(r = \frac{2 + 4}{2} = 3\)
2) \(r = \frac{2 - 4}{2} = -1\)
Como a progressão é crescente, descartamos o valor de \(r = -1\). Portanto, \(r = 3\).
Agora que sabemos o valor de \(r\), podemos encontrar os valores de \(a\) e \(ar\):
\[a + 3a + 9a = 26\]
\[13a = 26\]
\[a = 2\]
Por fim, para encontrar o segundo termo (\(ar\)), basta multiplicar \(a\) por \(r\):
\(ar = 2 \cdot 3 = 6\)
Portanto, o valor do 2º termo é 6.
Gabarito: a) 6
De acordo com o enunciado, temos que o terceiro termo é igual à soma do triplo do primeiro termo com o dobro do segundo termo:
\[ar^2 = 3a + 2ar\]
Também sabemos que a soma desses três termos é igual a 26:
\[a + ar + ar^2 = 26\]
Agora vamos resolver esse sistema de equações. Vamos começar substituindo o valor de \(ar^2\) da primeira equação na segunda equação:
\[a + ar + 3a + 2ar = 26\]
Agrupando os termos semelhantes, temos:
\[4a + 3ar = 26\]
Agora vamos isolar \(a\) na primeira equação:
\[ar^2 = 3a + 2ar\]
\[ar^2 - 2ar = 3a\]
\[a(r^2 - 2r) = 3a\]
Como \(a \neq 0\), podemos dividir ambos os lados por \(a\):
\[r^2 - 2r = 3\]
\[r^2 - 2r - 3 = 0\]
Agora vamos resolver essa equação do segundo grau para encontrar os valores de \(r\).
\[\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\]
\[r = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}\]
\[r = \frac{2 \pm 4}{2}\]
Temos duas possibilidades para \(r\):
1) \(r = \frac{2 + 4}{2} = 3\)
2) \(r = \frac{2 - 4}{2} = -1\)
Como a progressão é crescente, descartamos o valor de \(r = -1\). Portanto, \(r = 3\).
Agora que sabemos o valor de \(r\), podemos encontrar os valores de \(a\) e \(ar\):
\[a + 3a + 9a = 26\]
\[13a = 26\]
\[a = 2\]
Por fim, para encontrar o segundo termo (\(ar\)), basta multiplicar \(a\) por \(r\):
\(ar = 2 \cdot 3 = 6\)
Portanto, o valor do 2º termo é 6.
Gabarito: a) 6