O valor de p na equação Ap,3 = 12 Cp,4 é:

Para resolver essa questão, precisamos entender o que significa a notação A_p,3 e C_p,4 na equação dada.

A_p,3 representa o número de arranjos de p elementos tomados de 3 em 3, enquanto C_p,4 representa o número de combinações de p elementos tomados de 4 em 4.

A fórmula para o cálculo de arranjos é dada por: A_n,p = n! / (n-p)!, onde n! representa o fatorial de n.

E a fórmula para o cálculo de combinações é dada por: C_n,p = n! / [p! * (n-p)!].

Dessa forma, a equação A_p,3 = 12 C_p,4 pode ser escrita como p! / (p-3)! = 12 * p! / [4! * (p-4)!].

Simplificando a equação, temos: p! / (p-3)! = 12 * p! / 24 * (p-4)!.

Cancelando p! e simplificando, obtemos: 1 / (p-3)! = 12 / 24 * (p-4)!.

Simplificando mais um pouco, chegamos a: 1 / (p-3)! = 1 / 2 * (p-4)!.

Agora, igualamos os fatoriais: (p-3)! = 2 * (p-4)!.

Dividindo ambos os lados por (p-4)!, obtemos: p - 3 = 2.

Portanto, p = 5.

Gabarito: e) 5.