Ao encontrarmos as raízes da equação exponencial 4x? 12.2x+ ...

Vamos analisar a equação dada: 4^x - 12 ,cdot 2^x + 32 = 0. Note que podemos reescrevê-la em termos de uma única base. Sabemos que 4^x = (2^2)^x = 2^{2x}. Se chamarmos y = 2^x, então a equação fica: y^2 - 12y + 32 = 0, que é uma equação quadrática em y. Resolvendo essa equação: y^2 - 12y + 32 = 0. O produto das raízes y_1 e y_2 é igual a 32 (coeficiente independente) e a soma é 12. Como y = 2^x, as soluções para y são positivas e correspondem a 2^{x_1} e 2^{x_2}. Queremos o produto das raízes x_1 e x_2 da equação original, ou seja, x_1 imes x_2. Sabemos que: y_1 = 2^{x_1} e y_2 = 2^{x_2}. Então, y_1 y_2 = 2^{x_1} imes 2^{x_2} = 2^{x_1 + x_2} = 32. Como 32 = 2^5, temos: 2^{x_1 + x_2} = 2^5, logo x_1 + x_2 = 5. Usando a forma fatorada da equação quadrática, suas raízes somam 12 e multiplicam 32, então x_1 e x_2 satisfazem essa relação. Usando y_1 = 2^{x_1} e y_2 = 2^{x_2}, sabemos que logaritmando base 2, temos x_i = log_2 y_i. Portanto, o produto das raízes originais x_1 x_2 é igual a log_2 y_1 imes log_2 y_2. Como y_1 e y_2 são raízes da equação quadrática, podemos calcular os valores e, posteriormente, os x. Mas há um modo mais simples: notamos que as raízes y_1 e y_2 multiplicam 32, e as raízes x_1 e x_2 somam 5, contudo queremos o produto x_1 x_2. Pela fórmula de uma equação quadrática em y, as raízes são y = [12 ± sqrt{144 - 128}]/2 = [12 ± 4]/2. Então, y_1 = 8 e y_2 = 4. Assim, x_1 = log_2 8 = 3, x_2 = log_2 4 = 2. Logo, o produto x_1 x_2 = 3 imes 2 = 6. Portanto, o produto das raízes x da equação original é 6, que corresponde à alternativa a).