Dadas às proposições seguintes I. f: ℝ ⟶ ℝ ...

Para determinar se uma função é sobrejetora, precisamos verificar se para todo elemento do contradomínio existe pelo menos um elemento do domínio que é mapeado para ele. Em outras palavras, a função cobre todo o contradomínio.

Vamos analisar cada proposição:

I. f: ℝ → ℝ dada por f(x) = 2x - 1

Para verificar se a função é sobrejetora, precisamos analisar se para todo y em ℝ existe x em ℝ tal que f(x) = y.

Dado y em ℝ, queremos encontrar x tal que f(x) = y.
y = 2x - 1
2x = y + 1
x = (y + 1) / 2

Portanto, para todo y em ℝ, podemos encontrar um x em ℝ tal que f(x) = y. Logo, a função I é sobrejetora.

II. f: ℝ → ℝ dada por f(x) = x³

Analogamente, para verificar se a função é sobrejetora, precisamos analisar se para todo y em ℝ existe x em ℝ tal que f(x) = y.

Dado y em ℝ, queremos encontrar x tal que f(x) = y.
y = x³
x = ∛y

Portanto, para todo y em ℝ, podemos encontrar um x em ℝ tal que f(x) = y. Logo, a função II também é sobrejetora.

III. f: {-1, 0, 1, 2} → ℝ dada por f(x) = x² - 4

Neste caso, o contradomínio da função é ℝ, no entanto, o domínio é um conjunto finito {-1, 0, 1, 2}. Como o contradomínio é maior que o domínio, a função III não pode ser sobrejetora, pois não cobre todo o contradomínio.

Portanto, as proposições I e II são sobrejetoras.

Gabarito: d) I e II são sobrejetoras