Em um mapa, as cidades A, B e C são os vértices de um triângulo retângulo,...

Para resolver essa questão, vamos utilizar o conceito de triângulos semelhantes e o Teorema de Pitágoras.

Dado que o triângulo ABC é retângulo em A, podemos afirmar que ele é semelhante ao triângulo ADE, onde D é o ponto de interseção da estrada perpendicular a BC com BC, e E é o ponto de interseção da estrada perpendicular a BC com AC.

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
AB² + AC² = BC²
80² + AC² = 100²
6400 + AC² = 10000
AC² = 10000 - 6400
AC² = 3600
AC = 60 km

Agora, como os triângulos ABC e ADE são semelhantes, podemos estabelecer a seguinte proporção:
AB / AD = AC / AE
80 / AD = 60 / AE
80 / AD = 60 / (80 - AE)
80 / AD = 60 / (80 - AE)
80(80 - AE) = 60AD
6400 - 80AE = 60AD
80AE = 6400 - 60AD
AE = (6400 - 60AD) / 80

Como AD + DE = 80, temos que AD + AE = 80, substituindo AE na equação, temos:
AD + (6400 - 60AD) / 80 = 80
80AD + 6400 - 60AD = 80*80
20AD = 6400
AD = 3200 / 20
AD = 160 km

Portanto, o comprimento da estrada que será construída é DE = AE = 80 - AD = 80 - 160 = 80 - 80 = 0 km.

Gabarito: a) 48 km.