No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, a equação 4x

Para identificar que tipo de curva a equação representa, vamos analisar os coeficientes das variáveis x e y.

A equação dada é: 4x^2 + 16y^2 + 8x - 64y + 4 = 0

Vamos reescrever essa equação de forma mais organizada:
4x^2 + 8x + 16y^2 - 64y + 4 = 0

Agora, vamos agrupar os termos que contêm x e y:
(4x^2 + 8x) + (16y^2 - 64y) + 4 = 0

Vamos completar o quadrado para x e y separadamente.

Para x:
4(x^2 + 2x) = 4[(x + 1)^2 - 1] = 4(x + 1)^2 - 4

Para y:
16(y^2 - 4y) = 16[(y - 2)^2 - 4] = 16(y - 2)^2 - 64

Substituindo na equação original, temos:
4(x + 1)^2 - 4 + 16(y - 2)^2 - 64 + 4 = 0
4(x + 1)^2 + 16(y - 2)^2 - 64 = 0

Dividindo toda a equação por 4, obtemos:
(x + 1)^2 + 4(y - 2)^2 - 16 = 0

A equação obtida é da forma:
(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1

Comparando com a equação padrão de uma elipse:
(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1

Podemos concluir que a equação dada representa uma elipse de centro (-1, 2).

Portanto, o gabarito correto é:

Gabarito: b) uma elipse de centro (-1, 2).