O resto da divisão do polinômio P(x) = x4 + 2x3 + mx...

Para encontrar o valor de m, que é a constante real que precisamos determinar, vamos utilizar o Teorema do Resto, que nos diz que o resto da divisão de um polinômio P(x) por (x - a) é igual a P(a).

Dado o polinômio P(x) = x^4 + 2x^3 + mx^2 - 2 e o binômio x + 1, queremos encontrar o valor de m de modo que o resto da divisão seja igual a 8.

Vamos dividir o polinômio P(x) por (x + 1) e igualar o resto a 8:

(x^4 + 2x^3 + mx^2 - 2) / (x + 1) = Q(x) + 8

Onde Q(x) é o quociente da divisão.

Vamos realizar a divisão:

1. Dividindo x^4 por x, obtemos x^3. Multiplicamos x^3 pelo divisor (x + 1) e subtraímos de x^4 + 2x^3:

x^4 + 2x^3
-(x^4 + x^3)
-----------------
x^3

2. Repetimos o processo com x^3:

x^3
-(x^3)
--------
x^2

3. Agora, dividimos x^2 por x, obtendo x. Multiplicamos x pelo divisor (x + 1) e subtraímos de mx^2 - 2:

mx^2 - 2
-(mx^2 + x^2)
----------------
(m - 1)x^2 - 2

4. Continuamos com (m - 1)x^2:

(m - 1)x^2
-(mx^2 - 2)
----------------
(m + 1)x^2 - 2

5. Dividimos (m + 1)x^2 por x, obtendo (m + 1)x. Multiplicamos (m + 1)x por (x + 1) e subtraímos de -2:

(m + 1)x - 2
-((m + 1)x + x)
----------------
-3

O resto da divisão é -3, no entanto, sabemos que o resto deve ser 8. Portanto, precisamos ajustar o valor de m para que o resto seja 8.

Como o resto é -3 e precisamos que seja 8, a diferença entre esses valores é 11. Assim, para que o resto seja 8, m deve ser ajustado em 11.

Portanto, o valor de m que faz com que o resto da divisão seja 8 é 11.

Gabarito: c) 11.