Para quais valores a função F(x) = - x2 + 4x é positiva.

Para determinar para quais valores a função \( F(x) = -x^2 + 4x \) é positiva, precisamos analisar o sinal da função em diferentes intervalos.

Vamos encontrar os pontos em que a função se anula, ou seja, onde \( F(x) = 0 \):
\[ -x^2 + 4x = 0 \]
\[ x(-x + 4) = 0 \]

Assim, temos que \( x = 0 \) e \( x = 4 \) são os pontos em que a função se anula.

Agora, vamos analisar o sinal da função nos intervalos determinados pelos pontos críticos, que são \( x = 0 \) e \( x = 4 \).

1. Para \( x < 0 \):
Escolhendo \( x = -1 \) (um valor menor que 0), temos:
\[ F(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) = -1 - 4 = -5 \]
Portanto, a função é negativa para \( x < 0 \).

2. Para \( 0 < x < 4 \):
Escolhendo \( x = 1 \) (um valor entre 0 e 4), temos:
\[ F(1) = -(1)^2 + 4(1) = -1 + 4 = 3 \]
Portanto, a função é positiva para \( 0 < x < 4 \).

3. Para \( x > 4 \):
Escolhendo \( x = 5 \) (um valor maior que 4), temos:
\[ F(5) = -(5)^2 + 4(5) = -25 + 20 = -5 \]
Portanto, a função é negativa para \( x > 4 \).

Assim, a função \( F(x) = -x^2 + 4x \) é positiva para \( 0 < x < 4 \).

Portanto, o gabarito da questão é:

Gabarito: a)