Equipe Gabarite
31/12/1969 • 21:00
Para resolver essa questão, vamos reconhecer que, em uma progressão geométrica (PG), o termo do meio é a média geométrica dos termos que o precedem e o sucedem. A sequência dada é (x - 1; x + 2; 2x - 4). Assim, temos que o termo do meio (x + 2) deve ser igual à raiz quadrada do produto dos outros dois termos, ou seja:
x + 2 = √[(x - 1)(2x - 4)]
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(x + 2)² = (x - 1)(2x - 4)
Expandindo:
(x² + 4x + 4) = 2x² - 4x - 2x + 4
Simplificando o lado direito:
2x² - 6x + 4
Agora, colocando tudo na forma de uma equação:
(x² + 4x + 4) = 2x² - 6x + 4
Levando todos os termos para um lado:
x² + 4x + 4 - 2x² + 6x - 4 = 0
Simplificando:
-x² + 10x = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
x² - 10x = 0
Fatorando:
x(x - 10) = 0
Então, as soluções são x = 0 ou x = 10.
Como a progressão é crescente e os termos são (x - 1; x + 2; 2x - 4), vamos verificar os dois valores:
Para x = 0:
-1; 2; -4 -> Não é crescente, pois o último termo é negativo.
Para x = 10:
9; 12; 16 -> É uma progressão geométrica crescente.
O maior termo da progressão é 16.
Portanto, o gabarito é a letra e) 16.
x + 2 = √[(x - 1)(2x - 4)]
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(x + 2)² = (x - 1)(2x - 4)
Expandindo:
(x² + 4x + 4) = 2x² - 4x - 2x + 4
Simplificando o lado direito:
2x² - 6x + 4
Agora, colocando tudo na forma de uma equação:
(x² + 4x + 4) = 2x² - 6x + 4
Levando todos os termos para um lado:
x² + 4x + 4 - 2x² + 6x - 4 = 0
Simplificando:
-x² + 10x = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
x² - 10x = 0
Fatorando:
x(x - 10) = 0
Então, as soluções são x = 0 ou x = 10.
Como a progressão é crescente e os termos são (x - 1; x + 2; 2x - 4), vamos verificar os dois valores:
Para x = 0:
-1; 2; -4 -> Não é crescente, pois o último termo é negativo.
Para x = 10:
9; 12; 16 -> É uma progressão geométrica crescente.
O maior termo da progressão é 16.
Portanto, o gabarito é a letra e) 16.