David Castilho
EQUIPE
22/10/2026 • 05:01
Vamos analisar um problema clássico de movimento relativo envolvendo um homem que precisa escapar de um trem andando e correndo em uma ponte. A ponte tem um comprimento total que podemos chamar de L. O homem já caminhou 1/3 desse comprimento (ou seja, ele está a uma distância L/3 do início da ponte e 2L/3 do fim). Quando ele vê o trem, ele pode correr para frente (em direção ao final da ponte, onde está mais distante) ou para trás (em direção ao início da ponte, onde está mais próximo). Sua velocidade ao correr é 15 km/h, independente da direção.
Para escapar, o homem deve alcançar qualquer uma das extremidades antes que o trem o alcance. A velocidade do trem é desconhecida, e o enunciado diz que, quer ele corra para frente ou para trás, o trem o alcança exatamente no último instante, ou seja, a velocidade do trem é tal que o tempo de corrida até a extremidade à frente ou atrás é igual ao tempo em que o trem chega até ele.
Vamos chamar:
- Vh = velocidade do homem = 15 km/h
- Vt = velocidade do trem (procurada)
Distâncias:
- Até a ponta mais próxima da ponte (para trás): L/3
- Até a ponta mais distante da ponte (para frente): 2L/3
O tempo que o homem leva para fugir correndo para trás é:
T1 = (L/3) / Vh
Correndo para frente:
T2 = (2L/3) / Vh
Para o trem, o tempo para alcançar o homem em qualquer das situações deve ser igual ao tempo que eles levam para o homem alcançar aquela extremidade, pois o trem quase o pega naquele momento.
Quando o homem corre para trás, o trem deverá percorrer a distância da sua posição inicial até a ponta mais próxima da ponte mais a distância que o homem percorre para trás, ou seja, o trem percorre L/3 no tempo T1.
Quando o homem corre para frente, o trem deverá percorrer uma distância igual a (L - L/3) = 2L/3 no tempo T2.
Calculando o tempo T1:
T1 = (L/3) / 15 = L / 45
Tempo T2:
T2 = (2L/3) / 15 = 2L / 45
Agora, para o trem, para o homem fugir para trás, o trem deve percorrer a distância da ponte inteira (L), já que segue o sentido do trem, do ponto onde o homem viu o trem até a extremidade para trás?
Na verdade, o trem está vindo de uma extremidade da ponte até o homem, que está a L/3 dessa extremidade.
Ou seja, a distância do trem até o homem inicialmente é x (não especificada), mas podemos pensar que o trem está vindo da extremidade oposta ao homem, então a distância do trem até o homem corresponde a L - L/3 = 2L/3.
Ao analisar os tempos, podemos deduzir que para o homem escapar no último instante quer contra a frente quer para trás, os tempos para o trem e homem alcançarem a mesma posição devem ser iguais tanto para trás quanto para frente. Isso implica:
Para correr para trás:
Tempo do trem = Tempo do homem
D_treno_para_homem = L/3 / Vt
Tempo homem para correr para trás = L/3 / 15
Assim:
L/3 / Vt = L/3 / 15 => Vt = 15 km/h
Para correr para frente:
Tempo trem para alcançar o homem = 2L/3 / Vt
Tempo homem para correr para frente = 2L/3 / 15
O trem precisa alcançar o homem no momento que este chega no final. Portanto:
2L/3 / Vt = 2L/3 / 15 => Vt = 15 km/h
Mas isso não faz sentido, pois o trem e o homem teriam a mesma velocidade, o que não condiz com a ideia do problema, onde o trem avança e o homem tenta escapar.
Uma abordagem mais correta é considerar que o trem está vindo da extremidade oposta do homem na ponte, ou seja, a distância entre o trem e o homem é 2L/3, já que o homem está a L/3 da extremidade de onde ele estava vindo.
Então, para fugir para trás (distância L/3), o trem precisa percorrer a distância (2L/3) + (L/3) = L (todo o comprimento da ponte) até o ponto que o homem recua, o tempo do trem é:
Tt = L / Vt
Tempo homem:
Th = (L/3) / 15
Tempos iguais:
L / Vt = L/3 / 15
Multiplicando:
1 / Vt = 1/3 * 1/15 = 1/45
Então:
Vt = 45 km/h
Para correr para frente, o trem deve percorrer a distância (2L/3 - 0) que é a posição atual do homem até ele chegar ao final da ponte, o tempo do trem é:
Tt = (2L/3) / Vt
Tempo homem:
Th = (2L/3) / 15
Tempos iguais:
(2L/3) / Vt = (2L/3) / 15 => Vt = 15 km/h
Como a velocidade do trem é a mesma para as duas direções de corrida do homem, temos que tomar o maior valor que satisfaz as duas condições, que seria Vt = 45 km/h.
Portanto, a velocidade do trem é 45 km/h, opção d).
Para escapar, o homem deve alcançar qualquer uma das extremidades antes que o trem o alcance. A velocidade do trem é desconhecida, e o enunciado diz que, quer ele corra para frente ou para trás, o trem o alcança exatamente no último instante, ou seja, a velocidade do trem é tal que o tempo de corrida até a extremidade à frente ou atrás é igual ao tempo em que o trem chega até ele.
Vamos chamar:
- Vh = velocidade do homem = 15 km/h
- Vt = velocidade do trem (procurada)
Distâncias:
- Até a ponta mais próxima da ponte (para trás): L/3
- Até a ponta mais distante da ponte (para frente): 2L/3
O tempo que o homem leva para fugir correndo para trás é:
T1 = (L/3) / Vh
Correndo para frente:
T2 = (2L/3) / Vh
Para o trem, o tempo para alcançar o homem em qualquer das situações deve ser igual ao tempo que eles levam para o homem alcançar aquela extremidade, pois o trem quase o pega naquele momento.
Quando o homem corre para trás, o trem deverá percorrer a distância da sua posição inicial até a ponta mais próxima da ponte mais a distância que o homem percorre para trás, ou seja, o trem percorre L/3 no tempo T1.
Quando o homem corre para frente, o trem deverá percorrer uma distância igual a (L - L/3) = 2L/3 no tempo T2.
Calculando o tempo T1:
T1 = (L/3) / 15 = L / 45
Tempo T2:
T2 = (2L/3) / 15 = 2L / 45
Agora, para o trem, para o homem fugir para trás, o trem deve percorrer a distância da ponte inteira (L), já que segue o sentido do trem, do ponto onde o homem viu o trem até a extremidade para trás?
Na verdade, o trem está vindo de uma extremidade da ponte até o homem, que está a L/3 dessa extremidade.
Ou seja, a distância do trem até o homem inicialmente é x (não especificada), mas podemos pensar que o trem está vindo da extremidade oposta ao homem, então a distância do trem até o homem corresponde a L - L/3 = 2L/3.
Ao analisar os tempos, podemos deduzir que para o homem escapar no último instante quer contra a frente quer para trás, os tempos para o trem e homem alcançarem a mesma posição devem ser iguais tanto para trás quanto para frente. Isso implica:
Para correr para trás:
Tempo do trem = Tempo do homem
D_treno_para_homem = L/3 / Vt
Tempo homem para correr para trás = L/3 / 15
Assim:
L/3 / Vt = L/3 / 15 => Vt = 15 km/h
Para correr para frente:
Tempo trem para alcançar o homem = 2L/3 / Vt
Tempo homem para correr para frente = 2L/3 / 15
O trem precisa alcançar o homem no momento que este chega no final. Portanto:
2L/3 / Vt = 2L/3 / 15 => Vt = 15 km/h
Mas isso não faz sentido, pois o trem e o homem teriam a mesma velocidade, o que não condiz com a ideia do problema, onde o trem avança e o homem tenta escapar.
Uma abordagem mais correta é considerar que o trem está vindo da extremidade oposta do homem na ponte, ou seja, a distância entre o trem e o homem é 2L/3, já que o homem está a L/3 da extremidade de onde ele estava vindo.
Então, para fugir para trás (distância L/3), o trem precisa percorrer a distância (2L/3) + (L/3) = L (todo o comprimento da ponte) até o ponto que o homem recua, o tempo do trem é:
Tt = L / Vt
Tempo homem:
Th = (L/3) / 15
Tempos iguais:
L / Vt = L/3 / 15
Multiplicando:
1 / Vt = 1/3 * 1/15 = 1/45
Então:
Vt = 45 km/h
Para correr para frente, o trem deve percorrer a distância (2L/3 - 0) que é a posição atual do homem até ele chegar ao final da ponte, o tempo do trem é:
Tt = (2L/3) / Vt
Tempo homem:
Th = (2L/3) / 15
Tempos iguais:
(2L/3) / Vt = (2L/3) / 15 => Vt = 15 km/h
Como a velocidade do trem é a mesma para as duas direções de corrida do homem, temos que tomar o maior valor que satisfaz as duas condições, que seria Vt = 45 km/h.
Portanto, a velocidade do trem é 45 km/h, opção d).