Considere que: I - Existem empresários professores; II - Todos os...

Para resolver esse problema de lógica, vamos analisar cada uma das premissas fornecidas:

I - Existem empresários professores;
II - Todos os ricos são empresários;
III - Todos os matemáticos são somente professores;
IV - Existem engenheiros que são professores.

Agora, vamos analisar as opções de resposta:

a) Nenhum matemático é rico ou engenheiro.
Como todos os ricos são empresários (premissa II) e todos os matemáticos são somente professores (premissa III), podemos concluir que nenhum matemático é rico ou engenheiro. Portanto, a opção a) está correta.

b) Existem matemáticos que são engenheiros ou empresários.
Considerando que todos os matemáticos são somente professores (premissa III), não podemos afirmar que existem matemáticos que são engenheiros ou empresários. Portanto, a opção b) está incorreta.

c) Existem engenheiros matemáticos ou ricos.
Com base nas premissas fornecidas, não podemos afirmar que existem engenheiros matemáticos ou ricos. Portanto, a opção c) está incorreta.

d) Existem engenheiros matemáticos e empresários.
Como todos os matemáticos são somente professores (premissa III) e existem empresários professores (premissa I), podemos concluir que existem engenheiros que são professores e empresários. Portanto, a opção d) está correta.

e) Nenhum engenheiro é empresário e professor.
Com base nas premissas fornecidas, não podemos afirmar que nenhum engenheiro é empresário e professor. Portanto, a opção e) está incorreta.

Portanto, a resposta correta é:

Gabarito: a) Nenhum matemático é rico ou engenheiro.