Equipe Gabarite
31/12/1969 • 21:00
Gabarito: e)
A questão pede o maior valor inteiro de k para que a equação quadrática x² + 2018x + 2018k = 0 tenha soluções reais.
Para que uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 tenha soluções reais, o discriminante (delta) deve ser maior ou igual a zero. O discriminante é dado por delta = b² - 4ac.
No caso, a = 1, b = 2018 e c = 2018k.
Calculando o discriminante:
Delta = (2018)² - 4 * 1 * 2018k = 2018² - 8072k.
Para que as raízes sejam reais, delta >= 0:
2018² - 8072k >= 0
8072k <= 2018²
k <= 2018² / 8072
Calculando 2018²:
2018 * 2018 = 4.072.324
Dividindo:
4.072.324 / 8072 = 504.75 (aproximadamente)
Como k deve ser inteiro e menor ou igual a 504.75, o maior valor inteiro é 504.
Portanto, o maior valor inteiro de k para que a equação tenha soluções reais é 504, alternativa e).
Checagem dupla:
Repetindo o cálculo do discriminante para k=504:
Delta = 2018² - 4 * 1 * 2018 * 504 = 4.072.324 - 4 * 2018 * 504
Calculando 4 * 2018 * 504 = 4 * 2018 * 504 = 4 * 1.017.072 = 4.068.288
Delta = 4.072.324 - 4.068.288 = 4.036 > 0, positivo, então raízes reais.
Para k=505:
Delta = 4.072.324 - 4 * 2018 * 505 = 4.072.324 - 4.072.306 = 18 > 0, ainda positivo.
Para k=506:
Delta = 4.072.324 - 4 * 2018 * 506 = 4.072.324 - 4.076.324 = -4.000 < 0, negativo, não tem raízes reais.
Aqui, a checagem mostra que k=505 ainda gera delta positivo, então o maior k inteiro seria 505, alternativa d).
No entanto, o gabarito oficial é e) 504.
Isso indica que a questão provavelmente considera delta >= 0, e que o cálculo correto do discriminante para k=505 deve ser refeito com atenção.
Recalculando 4 * 2018 * 505:
2018 * 505 = 2018 * (500 + 5) = 2018 * 500 + 2018 * 5 = 1.009.000 + 10.090 = 1.019.090
Multiplicando por 4: 4 * 1.019.090 = 4.076.360
Delta = 4.072.324 - 4.076.360 = -4.036 < 0
Portanto, para k=505, delta é negativo, não tem raízes reais.
Assim, o maior k inteiro que mantém delta >= 0 é 504.
Conclusão: o gabarito e) está correto.
A questão pede o maior valor inteiro de k para que a equação quadrática x² + 2018x + 2018k = 0 tenha soluções reais.
Para que uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 tenha soluções reais, o discriminante (delta) deve ser maior ou igual a zero. O discriminante é dado por delta = b² - 4ac.
No caso, a = 1, b = 2018 e c = 2018k.
Calculando o discriminante:
Delta = (2018)² - 4 * 1 * 2018k = 2018² - 8072k.
Para que as raízes sejam reais, delta >= 0:
2018² - 8072k >= 0
8072k <= 2018²
k <= 2018² / 8072
Calculando 2018²:
2018 * 2018 = 4.072.324
Dividindo:
4.072.324 / 8072 = 504.75 (aproximadamente)
Como k deve ser inteiro e menor ou igual a 504.75, o maior valor inteiro é 504.
Portanto, o maior valor inteiro de k para que a equação tenha soluções reais é 504, alternativa e).
Checagem dupla:
Repetindo o cálculo do discriminante para k=504:
Delta = 2018² - 4 * 1 * 2018 * 504 = 4.072.324 - 4 * 2018 * 504
Calculando 4 * 2018 * 504 = 4 * 2018 * 504 = 4 * 1.017.072 = 4.068.288
Delta = 4.072.324 - 4.068.288 = 4.036 > 0, positivo, então raízes reais.
Para k=505:
Delta = 4.072.324 - 4 * 2018 * 505 = 4.072.324 - 4.072.306 = 18 > 0, ainda positivo.
Para k=506:
Delta = 4.072.324 - 4 * 2018 * 506 = 4.072.324 - 4.076.324 = -4.000 < 0, negativo, não tem raízes reais.
Aqui, a checagem mostra que k=505 ainda gera delta positivo, então o maior k inteiro seria 505, alternativa d).
No entanto, o gabarito oficial é e) 504.
Isso indica que a questão provavelmente considera delta >= 0, e que o cálculo correto do discriminante para k=505 deve ser refeito com atenção.
Recalculando 4 * 2018 * 505:
2018 * 505 = 2018 * (500 + 5) = 2018 * 500 + 2018 * 5 = 1.009.000 + 10.090 = 1.019.090
Multiplicando por 4: 4 * 1.019.090 = 4.076.360
Delta = 4.072.324 - 4.076.360 = -4.036 < 0
Portanto, para k=505, delta é negativo, não tem raízes reais.
Assim, o maior k inteiro que mantém delta >= 0 é 504.
Conclusão: o gabarito e) está correto.