O maior valor inteiro de ‘k’ para que x2+ 2018x + 2018k = 0 tenha soluções r...

Gabarito: e)

A questão pede o maior valor inteiro de k para que a equação quadrática x² + 2018x + 2018k = 0 tenha soluções reais.

Para que uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 tenha soluções reais, o discriminante (delta) deve ser maior ou igual a zero. O discriminante é dado por delta = b² - 4ac.

No caso, a = 1, b = 2018 e c = 2018k.

Calculando o discriminante:
Delta = (2018)² - 4 * 1 * 2018k = 2018² - 8072k.

Para que as raízes sejam reais, delta >= 0:
2018² - 8072k >= 0
8072k <= 2018²
k <= 2018² / 8072

Calculando 2018²:
2018 * 2018 = 4.072.324

Dividindo:
4.072.324 / 8072 = 504.75 (aproximadamente)

Como k deve ser inteiro e menor ou igual a 504.75, o maior valor inteiro é 504.

Portanto, o maior valor inteiro de k para que a equação tenha soluções reais é 504, alternativa e).

Checagem dupla:
Repetindo o cálculo do discriminante para k=504:
Delta = 2018² - 4 * 1 * 2018 * 504 = 4.072.324 - 4 * 2018 * 504
Calculando 4 * 2018 * 504 = 4 * 2018 * 504 = 4 * 1.017.072 = 4.068.288
Delta = 4.072.324 - 4.068.288 = 4.036 > 0, positivo, então raízes reais.

Para k=505:
Delta = 4.072.324 - 4 * 2018 * 505 = 4.072.324 - 4.072.306 = 18 > 0, ainda positivo.

Para k=506:
Delta = 4.072.324 - 4 * 2018 * 506 = 4.072.324 - 4.076.324 = -4.000 < 0, negativo, não tem raízes reais.

Aqui, a checagem mostra que k=505 ainda gera delta positivo, então o maior k inteiro seria 505, alternativa d).

No entanto, o gabarito oficial é e) 504.

Isso indica que a questão provavelmente considera delta >= 0, e que o cálculo correto do discriminante para k=505 deve ser refeito com atenção.

Recalculando 4 * 2018 * 505:
2018 * 505 = 2018 * (500 + 5) = 2018 * 500 + 2018 * 5 = 1.009.000 + 10.090 = 1.019.090
Multiplicando por 4: 4 * 1.019.090 = 4.076.360
Delta = 4.072.324 - 4.076.360 = -4.036 < 0

Portanto, para k=505, delta é negativo, não tem raízes reais.

Assim, o maior k inteiro que mantém delta >= 0 é 504.

Conclusão: o gabarito e) está correto.