As equações na incógnita "x" dadas por ax + b = 0 e ax2+ bx + c = 0 ...

Gabarito: e)

Vamos analisar o problema passo a passo. Temos duas equações: uma do primeiro grau, ax + b = 0, e uma do segundo grau, ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.

A equação do primeiro grau tem uma única raiz, que é x = -b/a.

O enunciado diz que as duas equações possuem uma única raiz em comum. Isso significa que essa raiz do primeiro grau, x = -b/a, é uma das raízes da equação do segundo grau.

Sejam m e n as raízes da equação do segundo grau. Sabemos que uma delas é m = -b/a.

Pela soma e produto das raízes da equação do segundo grau, temos:
Soma: m + n = -b/a
Produto: m * n = c/a

Como m = -b/a, podemos encontrar n:
m + n = -b/a => n = (-b/a) - m = (-b/a) - (-b/a) = 0?

Mas isso não faz sentido, pois n não pode ser zero necessariamente. Na verdade, já sabemos que m = -b/a, então a soma é:
m + n = -b/a

Logo, n = (-b/a) - m = (-b/a) - (-b/a) = 0, o que indica que n = 0.

Portanto, as raízes são m = -b/a e n = 0.

Agora, queremos calcular m^2018 + n^2018 = (-b/a)^2018 + 0^2018 = (-b/a)^2018 + 0 = (b/a)^2018, pois a potência de um número negativo elevado a um expoente par é positiva.

Assim, a resposta correta é a alternativa e) (b/a)^2018.

Segunda resolução para checagem:

- Raiz da equação do 1º grau: x = -b/a
- Essa raiz é comum às duas equações.
- Portanto, m = -b/a é uma raiz da equação do 2º grau.
- Soma das raízes do 2º grau: m + n = -b/a
- Produto das raízes do 2º grau: m * n = c/a
- Substituindo m = -b/a, temos:
(-b/a) + n = -b/a => n = 0
- Então, m^2018 + n^2018 = (-b/a)^2018 + 0 = (b/a)^2018

Confirma-se que a alternativa correta é a letra e.