Seja ABCD um quadrado de ladoL, em que AC é uma desuas diagonais. Na semirreta BC, onde...
Responda: Seja ABCD um quadrado de ladoL, em que AC é uma desuas diagonais. Na semirreta BC, onde B é a origem, marca-se E de tal modo que BC = CE. Seja H a circunferência de centro em C e raioL, e P 0 ponto...
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Por Letícia Cunha em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: a)
Vamos analisar o problema passo a passo para entender a geometria envolvida.
Temos um quadrado ABCD de lado L. A diagonal AC é uma das diagonais do quadrado. Como o quadrado tem lado L, a diagonal AC mede L vezes raiz de 2.
Na semirreta BC, com B como origem, marca-se o ponto E tal que BC = CE. Como BC é um lado do quadrado, BC = L, logo CE = L, o que significa que E está na extensão do lado BC, a uma distância L de C.
A circunferência H tem centro em C e raio L. Portanto, qualquer ponto P na circunferência satisfaz que a distância CP = L.
O ponto P é a interseção da reta AE com a circunferência H. Precisamos encontrar o comprimento do segmento DP.
Para isso, podemos posicionar o quadrado em um sistema cartesiano para facilitar os cálculos. Suponha que B esteja na origem (0,0), C em (L,0), A em (0,L) e D em (L,L).
O ponto E está na semirreta BC além de C, então E está em (2L,0).
A reta AE passa pelos pontos A(0,L) e E(2L,0). A equação da reta AE pode ser obtida:
O coeficiente angular m = (0 - L)/(2L - 0) = -L/(2L) = -1/2.
A equação da reta AE é y - L = -1/2 (x - 0), ou seja, y = L - (1/2)x.
Agora, P está na circunferência de centro C(L,0) e raio L, então:
(x - L)^2 + y^2 = L^2.
Substituindo y = L - (1/2)x na equação da circunferência:
(x - L)^2 + [L - (1/2)x]^2 = L^2.
Expandindo e simplificando, encontramos as coordenadas de P.
Após resolver a equação quadrática, obtemos x = L(3/5) e y = L(4/5).
Assim, P = (3L/5, 4L/5).
Finalmente, calculamos DP, onde D = (L,L):
DP = raiz de [(L - 3L/5)^2 + (L - 4L/5)^2] = raiz de [(2L/5)^2 + (L/5)^2] = raiz de [4L^2/25 + L^2/25] = raiz de (5L^2/25) = L raiz(5)/5.
No entanto, o gabarito indica uma resposta diferente, então vamos revisar.
Revisão:
Na etapa do cálculo de DP, houve um erro na subtração das coordenadas y.
D = (L,L), P = (3L/5, 4L/5).
Diferença em x: L - 3L/5 = 2L/5.
Diferença em y: L - 4L/5 = L/5.
DP = raiz[(2L/5)^2 + (L/5)^2] = raiz[(4L^2/25) + (L^2/25)] = raiz(5L^2/25) = L raiz(5)/5.
Mas essa resposta não está entre as alternativas.
Vamos verificar se o ponto P encontrado está correto.
Outra raiz da equação quadrática pode ser usada para encontrar o outro ponto de interseção.
Ao resolver a equação, encontramos dois valores para x: x = L e x = 3L.
x = L corresponde ao ponto C, que já está na circunferência.
x = 3L é o outro ponto P.
Substituindo x = 3L na reta AE:
y = L - (1/2)(3L) = L - (3L/2) = -L/2.
Então P = (3L, -L/2).
Calculando DP:
D = (L,L), P = (3L, -L/2).
Diferença em x: 3L - L = 2L.
Diferença em y: -L/2 - L = -3L/2.
DP = raiz[(2L)^2 + (-3L/2)^2] = raiz[4L^2 + (9L^2/4)] = raiz[(16L^2/4) + (9L^2/4)] = raiz(25L^2/4) = (5L)/2.
Essa resposta também não está entre as alternativas.
Portanto, a primeira solução P = (3L/5, 4L/5) é a correta para o ponto P na circunferência e na reta AE.
No entanto, o cálculo do DP dá L raiz(5)/5, que não está entre as alternativas.
Reanalisando a questão, o gabarito oficial é a), que corresponde a L raiz(10)/5.
Isso sugere que o cálculo do DP deve resultar em L raiz(10)/5.
Vamos verificar se houve erro na definição dos pontos.
Posicionando o quadrado ABCD com B na origem (0,0), C em (L,0), A em (0,L), D em (L,L).
E está na semirreta BC, com BC = CE = L, então E está em (2L,0).
Reta AE: passa por A(0,L) e E(2L,0).
Equação da reta AE: y = L - (1/2)x.
Circunferência H: centro C(L,0), raio L.
Equação: (x - L)^2 + y^2 = L^2.
Substituindo y:
(x - L)^2 + [L - (1/2)x]^2 = L^2.
Expandindo:
(x^2 - 2Lx + L^2) + (L^2 - Lx + x^2/4) = L^2.
Somando:
x^2 - 2Lx + L^2 + L^2 - Lx + x^2/4 = L^2.
x^2 + x^2/4 = (5x^2)/4.
Então:
(5x^2)/4 - 3Lx + 2L^2 = L^2.
Subtraindo L^2 dos dois lados:
(5x^2)/4 - 3Lx + L^2 = 0.
Multiplicando por 4 para eliminar denominador:
5x^2 - 12Lx + 4L^2 = 0.
Dividindo por L^2 para facilitar:
5(x/L)^2 - 12(x/L) + 4 = 0.
Seja t = x/L:
5t^2 - 12t + 4 = 0.
Resolvendo a equação quadrática:
Delta = 144 - 80 = 64.
t = [12 ± 8]/(2*5) = (12 ± 8)/10.
Primeira raiz: (12 + 8)/10 = 20/10 = 2.
Segunda raiz: (12 - 8)/10 = 4/10 = 0,4.
Então x = 2L ou x = 0,4L (3L/5 = 0,6L, então corrigindo).
Para x = 0,4L, y = L - (1/2)(0,4L) = L - 0,2L = 0,8L.
P = (0,4L, 0,8L).
Calculando DP:
D = (L,L), P = (0,4L, 0,8L).
Diferença em x: L - 0,4L = 0,6L.
Diferença em y: L - 0,8L = 0,2L.
DP = raiz[(0,6L)^2 + (0,2L)^2] = raiz[0,36L^2 + 0,04L^2] = raiz[0,4L^2] = 0,6324L.
Expressando em forma de raiz:
0,6324L = L raiz(0,4) = L raiz(4/10) = L (2/raiz(10)) = (2L)/raiz(10).
Racionalizando:
(2L)/raiz(10) = (2L raiz(10))/10 = L raiz(10)/5.
Portanto, DP = L raiz(10)/5, que corresponde à alternativa a).
Assim, o gabarito oficial está correto.
Conclusão: a resposta correta é a alternativa a), DP = L raiz(10)/5.
Vamos analisar o problema passo a passo para entender a geometria envolvida.
Temos um quadrado ABCD de lado L. A diagonal AC é uma das diagonais do quadrado. Como o quadrado tem lado L, a diagonal AC mede L vezes raiz de 2.
Na semirreta BC, com B como origem, marca-se o ponto E tal que BC = CE. Como BC é um lado do quadrado, BC = L, logo CE = L, o que significa que E está na extensão do lado BC, a uma distância L de C.
A circunferência H tem centro em C e raio L. Portanto, qualquer ponto P na circunferência satisfaz que a distância CP = L.
O ponto P é a interseção da reta AE com a circunferência H. Precisamos encontrar o comprimento do segmento DP.
Para isso, podemos posicionar o quadrado em um sistema cartesiano para facilitar os cálculos. Suponha que B esteja na origem (0,0), C em (L,0), A em (0,L) e D em (L,L).
O ponto E está na semirreta BC além de C, então E está em (2L,0).
A reta AE passa pelos pontos A(0,L) e E(2L,0). A equação da reta AE pode ser obtida:
O coeficiente angular m = (0 - L)/(2L - 0) = -L/(2L) = -1/2.
A equação da reta AE é y - L = -1/2 (x - 0), ou seja, y = L - (1/2)x.
Agora, P está na circunferência de centro C(L,0) e raio L, então:
(x - L)^2 + y^2 = L^2.
Substituindo y = L - (1/2)x na equação da circunferência:
(x - L)^2 + [L - (1/2)x]^2 = L^2.
Expandindo e simplificando, encontramos as coordenadas de P.
Após resolver a equação quadrática, obtemos x = L(3/5) e y = L(4/5).
Assim, P = (3L/5, 4L/5).
Finalmente, calculamos DP, onde D = (L,L):
DP = raiz de [(L - 3L/5)^2 + (L - 4L/5)^2] = raiz de [(2L/5)^2 + (L/5)^2] = raiz de [4L^2/25 + L^2/25] = raiz de (5L^2/25) = L raiz(5)/5.
No entanto, o gabarito indica uma resposta diferente, então vamos revisar.
Revisão:
Na etapa do cálculo de DP, houve um erro na subtração das coordenadas y.
D = (L,L), P = (3L/5, 4L/5).
Diferença em x: L - 3L/5 = 2L/5.
Diferença em y: L - 4L/5 = L/5.
DP = raiz[(2L/5)^2 + (L/5)^2] = raiz[(4L^2/25) + (L^2/25)] = raiz(5L^2/25) = L raiz(5)/5.
Mas essa resposta não está entre as alternativas.
Vamos verificar se o ponto P encontrado está correto.
Outra raiz da equação quadrática pode ser usada para encontrar o outro ponto de interseção.
Ao resolver a equação, encontramos dois valores para x: x = L e x = 3L.
x = L corresponde ao ponto C, que já está na circunferência.
x = 3L é o outro ponto P.
Substituindo x = 3L na reta AE:
y = L - (1/2)(3L) = L - (3L/2) = -L/2.
Então P = (3L, -L/2).
Calculando DP:
D = (L,L), P = (3L, -L/2).
Diferença em x: 3L - L = 2L.
Diferença em y: -L/2 - L = -3L/2.
DP = raiz[(2L)^2 + (-3L/2)^2] = raiz[4L^2 + (9L^2/4)] = raiz[(16L^2/4) + (9L^2/4)] = raiz(25L^2/4) = (5L)/2.
Essa resposta também não está entre as alternativas.
Portanto, a primeira solução P = (3L/5, 4L/5) é a correta para o ponto P na circunferência e na reta AE.
No entanto, o cálculo do DP dá L raiz(5)/5, que não está entre as alternativas.
Reanalisando a questão, o gabarito oficial é a), que corresponde a L raiz(10)/5.
Isso sugere que o cálculo do DP deve resultar em L raiz(10)/5.
Vamos verificar se houve erro na definição dos pontos.
Posicionando o quadrado ABCD com B na origem (0,0), C em (L,0), A em (0,L), D em (L,L).
E está na semirreta BC, com BC = CE = L, então E está em (2L,0).
Reta AE: passa por A(0,L) e E(2L,0).
Equação da reta AE: y = L - (1/2)x.
Circunferência H: centro C(L,0), raio L.
Equação: (x - L)^2 + y^2 = L^2.
Substituindo y:
(x - L)^2 + [L - (1/2)x]^2 = L^2.
Expandindo:
(x^2 - 2Lx + L^2) + (L^2 - Lx + x^2/4) = L^2.
Somando:
x^2 - 2Lx + L^2 + L^2 - Lx + x^2/4 = L^2.
x^2 + x^2/4 = (5x^2)/4.
Então:
(5x^2)/4 - 3Lx + 2L^2 = L^2.
Subtraindo L^2 dos dois lados:
(5x^2)/4 - 3Lx + L^2 = 0.
Multiplicando por 4 para eliminar denominador:
5x^2 - 12Lx + 4L^2 = 0.
Dividindo por L^2 para facilitar:
5(x/L)^2 - 12(x/L) + 4 = 0.
Seja t = x/L:
5t^2 - 12t + 4 = 0.
Resolvendo a equação quadrática:
Delta = 144 - 80 = 64.
t = [12 ± 8]/(2*5) = (12 ± 8)/10.
Primeira raiz: (12 + 8)/10 = 20/10 = 2.
Segunda raiz: (12 - 8)/10 = 4/10 = 0,4.
Então x = 2L ou x = 0,4L (3L/5 = 0,6L, então corrigindo).
Para x = 0,4L, y = L - (1/2)(0,4L) = L - 0,2L = 0,8L.
P = (0,4L, 0,8L).
Calculando DP:
D = (L,L), P = (0,4L, 0,8L).
Diferença em x: L - 0,4L = 0,6L.
Diferença em y: L - 0,8L = 0,2L.
DP = raiz[(0,6L)^2 + (0,2L)^2] = raiz[0,36L^2 + 0,04L^2] = raiz[0,4L^2] = 0,6324L.
Expressando em forma de raiz:
0,6324L = L raiz(0,4) = L raiz(4/10) = L (2/raiz(10)) = (2L)/raiz(10).
Racionalizando:
(2L)/raiz(10) = (2L raiz(10))/10 = L raiz(10)/5.
Portanto, DP = L raiz(10)/5, que corresponde à alternativa a).
Assim, o gabarito oficial está correto.
Conclusão: a resposta correta é a alternativa a), DP = L raiz(10)/5.
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