Questões Matemática Prismas e Cilindros
(PUC-PR) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3 cm, com água. Se mergulharmos inte...
Responda: (PUC-PR) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3 cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma bolinha esférica nesse recipiente, o nível da água sobe cerca de 1,2 cm. Sabe-se, então, que o r...
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Por Marcos de Castro em 31/12/1969 21:00:00
Para resolver essa questão, podemos utilizar o conceito de volume de líquido deslocado por um corpo imerso em um recipiente com água.
O volume do líquido deslocado é igual ao volume do corpo imerso. No caso, a bolinha é uma esfera, e o volume de uma esfera é dado pela fórmula:
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
Onde:
- \( V \) é o volume da esfera,
- \( \pi \) é uma constante aproximadamente igual a 3,14,
- \( r \) é o raio da esfera.
Sabemos que o recipiente cilíndrico tem raio de 3 cm e que, ao mergulhar a bolinha, o nível da água sobe cerca de 1,2 cm. Isso significa que o volume da bolinha é igual ao volume de água deslocado, que é a área da base do cilindro (círculo) multiplicada pela altura que a água subiu.
O raio da bolinha é o que queremos descobrir, então vamos chamar de \( R \) o raio da bolinha.
O volume da bolinha é dado por:
\[ V_{bolinha} = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
E o volume de água deslocado é dado por:
\[ V_{agua} = \pi (3^2) \cdot 1,2 \]
Igualando os dois volumes, temos:
\[ \frac{4}{3} \pi R^3 = \pi (3^2) \cdot 1,2 \]
\[ \frac{4}{3} R^3 = 3^2 \cdot 1,2 \]
\[ \frac{4}{3} R^3 = 10,8 \]
\[ R^3 = \frac{10,8 \cdot 3}{4} \]
\[ R^3 = 8,1 \]
\[ R = \sqrt[3]{8,1} \]
\[ R \approx 2 \, cm \]
Portanto, o raio da bolinha é aproximadamente 2 cm.
Gabarito: c) 2 cm
O volume do líquido deslocado é igual ao volume do corpo imerso. No caso, a bolinha é uma esfera, e o volume de uma esfera é dado pela fórmula:
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
Onde:
- \( V \) é o volume da esfera,
- \( \pi \) é uma constante aproximadamente igual a 3,14,
- \( r \) é o raio da esfera.
Sabemos que o recipiente cilíndrico tem raio de 3 cm e que, ao mergulhar a bolinha, o nível da água sobe cerca de 1,2 cm. Isso significa que o volume da bolinha é igual ao volume de água deslocado, que é a área da base do cilindro (círculo) multiplicada pela altura que a água subiu.
O raio da bolinha é o que queremos descobrir, então vamos chamar de \( R \) o raio da bolinha.
O volume da bolinha é dado por:
\[ V_{bolinha} = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
E o volume de água deslocado é dado por:
\[ V_{agua} = \pi (3^2) \cdot 1,2 \]
Igualando os dois volumes, temos:
\[ \frac{4}{3} \pi R^3 = \pi (3^2) \cdot 1,2 \]
\[ \frac{4}{3} R^3 = 3^2 \cdot 1,2 \]
\[ \frac{4}{3} R^3 = 10,8 \]
\[ R^3 = \frac{10,8 \cdot 3}{4} \]
\[ R^3 = 8,1 \]
\[ R = \sqrt[3]{8,1} \]
\[ R \approx 2 \, cm \]
Portanto, o raio da bolinha é aproximadamente 2 cm.
Gabarito: c) 2 cm
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