(Unifor-CE) Um triângulo retângulo é tal que as medidas de seus lados, em cen...

Para resolver essa questão, vamos seguir os seguintes passos:

1. Encontrar as medidas dos lados do triângulo retângulo.
2. Calcular a medida do cateto menor.
3. Calcular o raio da circunferência formada pela rotação do triângulo.
4. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo.

Vamos lá:

1. Sejam os lados do triângulo retângulo a, a + 1,5 e a + 3, onde a é o primeiro termo da progressão aritmética.

2. Como o triângulo é retângulo, temos que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim, temos:
a² + (a + 1,5)² = (a + 3)²
Expandindo os termos, temos:
a² + a² + 3a + 2,25 = a² + 6a + 9
Simplificando:
2a² + 3a + 2,25 = a² + 6a + 9
a² - 3a - 6,75 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos a = 3 ou a = -2,25. Como a não pode ser negativo, temos a = 3.

Portanto, as medidas dos lados do triângulo são 3 cm, 4,5 cm e 6 cm.

3. O cateto menor é 3 cm.

4. Para encontrar o raio da circunferência formada pela rotação do triângulo em torno do cateto menor, utilizamos a fórmula do comprimento da circunferência:
C = 2πr
Onde r é o raio da circunferência.

Substituindo r por 3 cm, temos:
C = 2π * 3
C = 6π cm

Por fim, para calcular o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo, utilizamos a fórmula do volume do cilindro:
V = πr²h
Onde r é o raio da circunferência e h é a altura do sólido, que é igual ao lado do triângulo retângulo.

Substituindo r por 3 cm e h por 6 cm, temos:
V = π * 3² * 6
V = 9π * 6
V = 54π cm³

Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo em torno do cateto menor é de 54π cm³.

Gabarito: e) 54π