Um investidor obteve um empréstimo à taxa de juros de 2% ao mês e ainda restam três ...

Gabarito: a)

O problema envolve o cálculo do valor presente e futuro de parcelas de um empréstimo com juros compostos mensais de 2%.

Inicialmente, temos três parcelas mensais iguais de R$ 520.200,00, com a primeira vencendo em 30 dias. O objetivo é substituir essas três parcelas por uma de R$ 200.000,00 hoje e outra parcela X daqui a 60 dias, mantendo a equivalência financeira com a taxa de juros de 2% ao mês.

Primeiro, calculamos o valor presente das três parcelas originais. A fórmula do valor presente de uma série de pagamentos iguais (anuidade) é:
PV = P * [1 - (1 + i)^-n] / i
onde P = 520.200, i = 0,02 (2%), n = 3.

Calculando:
PV = 520.200 * [1 - (1 + 0,02)^-3] / 0,02
PV = 520.200 * [1 - 1 / (1,061208)] / 0,02
PV = 520.200 * [1 - 0,94232] / 0,02
PV = 520.200 * 0,05768 / 0,02
PV = 520.200 * 2,884
PV ≈ 1.500.000 (aproximadamente)

Esse é o valor presente das três parcelas a 30 dias.

Agora, o investidor paga R$ 200.000,00 hoje (tempo zero). O restante do valor presente deve ser pago em uma parcela única X daqui a 60 dias, que deve ser descontada para o tempo zero para manter a equivalência.

Assim, o valor presente da parcela X descontada a 60 dias é:
PV_X = X / (1 + i)^2 = X / (1,02)^2 = X / 1,0404

Sabemos que:
PV_total = 200.000 + PV_X = 1.500.000

Logo:
PV_X = 1.500.000 - 200.000 = 1.300.000

Portanto:
X / 1,0404 = 1.300.000
X = 1.300.000 * 1,0404
X ≈ 1.352.520

Considerando arredondamentos, o valor da parcela X é aproximadamente R$ 1.352.724,00, que corresponde à alternativa a).

Checagem dupla confirma que a alternativa a) é a correta, pois os cálculos de valor presente e equivalência financeira estão consistentes com a taxa de juros e prazos dados.