Outra alternativa para a resolução de exercícios que envolvam conjuntos é através das fórmulas. Embora o diagrama de Venn seja um método eficiente e bastante utilizado, o conhecimento acerca da aplicação das fórmulas de união de conjuntos são ótimas opções para otimizar o tempo nas provas de concursos.
Fórmula da união de dois conjuntos
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
A fórmula significa que a união dos conjuntos A e B é igual ao valor de A mais o valor de B menos a intersecção entre A e B.
Fórmula da união de três de conjuntos
(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Por possuir mais um conjunto, a fórmula fica um pouco mais extensa.
A fórmula significa que a união dos conjuntos A, B e C é igual ao valor do conjunto A mais o conjunto B mais o conjunto C menos a intersecção de A e B, menos a intersecção de A e C, menos a intersecção de B e C e, finalmente, mais a intersecção de A, B e C.
Exercícios resolvidos:
1) Em uma loja de materiais para corte e costura, foram questionados alguns clientes sobre a preferência em relação aos cursos que seriam oferecidos pela loja. O resultado foi:
- 23 gostariam de aprender costura básica;
- 24 gostariam de aprender crochê;
- 25 gostariam de aprender tricô;
- 12 gostariam de aprender costura básica e crochê;
- 10 gostariam de aprender costura básica e tricô;
- 9 gostariam de aprender crochê e tricô;
- 7 gostariam de aprender costura básica, crochê e tricô.
Quantos clientes foram entrevistados?
Resolução:
Nesse exemplo, notamos que a questão aborda três conjuntos. A partir disso, usaremos a seguinte fórmula:
(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Se o valor pedido pela questão é a quantidade de entrevistados, logo sabemos que o questionado é a união entre os três conjuntos. Agora vamos incluir os valores nos lugares correspondentes.
Sendo costura básica o conjunto A, crochê o conjunto B e tricô o conjunto C:
(A U B U C) =23+ 24 + 25 - 12 - 10 - 9 + 7
(A U B U C) = 79 – 31
(A U B U C) = 48
Logo, temos um total de 48 clientes entrevistados.
2) A pizzaria Forno Italiano fez um levantamento dos pedidos realizados em um final de semana. Num total de 65 pedidos, 40 clientes pediram pizza e 35 clientes pediram esfiha. Quantos clientes pediram pizza e esfiha?
Resolução:
Podemos notar que o enunciado aborda dois conjuntos, pizza e esfiha. Sendo assim, utilizaremos a fórmula da união de dois conjuntos.
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
A questão pede que encontremos quantos clientes pediram pizza e esfiha, o que significa que a incógnita corresponde à intersecção entre pizza e esfiha.
65 = 40 + 35 - n(A ∩ B)
65 – 75 = -n(A ∩ B)
-10 = -n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = 10
