David Castilho
31/12/1969 • 21:00
Gabarito: d)
Vamos analisar o problema passo a passo. Temos um número inteiro N tal que 9 vezes N resulta em um número natural cujos algarismos são todos iguais a 1. Por exemplo, números como 11, 111, 1111, etc., são chamados de números repunit (formados apenas por algarismos 1).
Seja esse número repunit R. Então, podemos escrever R = 111...1 (k vezes). Sabemos que R = 9 * N.
Os números repunit podem ser expressos pela fórmula R = (10^k - 1)/9. Portanto, temos:
9 * N = (10^k - 1)/9
Multiplicando ambos os lados por 9:
81 * N = 10^k - 1
Logo:
N = (10^k - 1)/81
Para que N seja inteiro, (10^k - 1) deve ser divisível por 81.
Sabemos que 10^k mod 81 deve ser 1 para que (10^k - 1) seja múltiplo de 81.
Calculando a ordem de 10 módulo 81:
10^1 mod 81 = 10
10^2 mod 81 = 100 mod 81 = 19
10^3 mod 81 = 10^2 * 10 = 19 * 10 = 190 mod 81 = 28
10^4 mod 81 = 28 * 10 = 280 mod 81 = 37
10^5 mod 81 = 37 * 10 = 370 mod 81 = 46
10^6 mod 81 = 46 * 10 = 460 mod 81 = 55
10^7 mod 81 = 55 * 10 = 550 mod 81 = 64
10^8 mod 81 = 64 * 10 = 640 mod 81 = 73
10^9 mod 81 = 73 * 10 = 730 mod 81 = 1
Portanto, a ordem é 9, ou seja, 10^9 mod 81 = 1.
Assim, k = 9 é o menor valor para que N seja inteiro.
Calculando N:
N = (10^9 - 1)/81 = (1.000.000.000 - 1)/81 = 999.999.999 / 81 = 12.345.679
Agora, somamos os algarismos de N:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 = 37
Portanto, a soma dos algarismos de N é 37.
Checagem dupla:
Multiplicando N por 9:
12.345.679 * 9 = 111.111.111, que é um número com todos os algarismos iguais a 1.
Isso confirma que a resposta correta é a letra d).
Vamos analisar o problema passo a passo. Temos um número inteiro N tal que 9 vezes N resulta em um número natural cujos algarismos são todos iguais a 1. Por exemplo, números como 11, 111, 1111, etc., são chamados de números repunit (formados apenas por algarismos 1).
Seja esse número repunit R. Então, podemos escrever R = 111...1 (k vezes). Sabemos que R = 9 * N.
Os números repunit podem ser expressos pela fórmula R = (10^k - 1)/9. Portanto, temos:
9 * N = (10^k - 1)/9
Multiplicando ambos os lados por 9:
81 * N = 10^k - 1
Logo:
N = (10^k - 1)/81
Para que N seja inteiro, (10^k - 1) deve ser divisível por 81.
Sabemos que 10^k mod 81 deve ser 1 para que (10^k - 1) seja múltiplo de 81.
Calculando a ordem de 10 módulo 81:
10^1 mod 81 = 10
10^2 mod 81 = 100 mod 81 = 19
10^3 mod 81 = 10^2 * 10 = 19 * 10 = 190 mod 81 = 28
10^4 mod 81 = 28 * 10 = 280 mod 81 = 37
10^5 mod 81 = 37 * 10 = 370 mod 81 = 46
10^6 mod 81 = 46 * 10 = 460 mod 81 = 55
10^7 mod 81 = 55 * 10 = 550 mod 81 = 64
10^8 mod 81 = 64 * 10 = 640 mod 81 = 73
10^9 mod 81 = 73 * 10 = 730 mod 81 = 1
Portanto, a ordem é 9, ou seja, 10^9 mod 81 = 1.
Assim, k = 9 é o menor valor para que N seja inteiro.
Calculando N:
N = (10^9 - 1)/81 = (1.000.000.000 - 1)/81 = 999.999.999 / 81 = 12.345.679
Agora, somamos os algarismos de N:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 = 37
Portanto, a soma dos algarismos de N é 37.
Checagem dupla:
Multiplicando N por 9:
12.345.679 * 9 = 111.111.111, que é um número com todos os algarismos iguais a 1.
Isso confirma que a resposta correta é a letra d).