João aplicou R$ 10.000,00, no regime de juros compostos, a uma taxa de juros nominal...

Gabarito: c)

Vamos analisar a questão passo a passo. João fez duas aplicações consecutivas, ambas em regime de juros compostos, e queremos encontrar a taxa efetiva total para o período de 6 meses.

Primeira aplicação: R$ 10.000,00 a uma taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, por 3 meses. A taxa mensal efetiva é a taxa nominal anual dividida por 12, ou seja, 12% / 12 = 1% ao mês.

Assim, o montante após 3 meses é calculado por: M1 = 10.000 * (1 + 0,01)^3 = 10.000 * 1,030301 = R$ 10.303,01 aproximadamente.

Segunda aplicação: o montante de R$ 10.303,01 é reaplicado por mais 3 meses a uma taxa de 2% ao mês, também composta. O montante final é: M2 = 10.303,01 * (1 + 0,02)^3 = 10.303,01 * 1,061208 = R$ 10.933,03 aproximadamente.

Agora, para encontrar a taxa efetiva total para os 6 meses, calculamos a taxa que aplicada sobre R$ 10.000,00 durante 6 meses gera R$ 10.933,03.

Taxa efetiva total i: 10.000 * (1 + i)^6 = 10.933,03

Logo, (1 + i)^6 = 10.933,03 / 10.000 = 1,093303

Extraindo a raiz sexta: 1 + i = (1,093303)^(1/6) ≈ 1,015

Portanto, i ≈ 0,015 ou 1,5% ao mês.

A taxa efetiva total para os 6 meses é aproximadamente 9,34% (pois 1,5% ao mês por 6 meses em regime composto é 1,015^6 - 1 = 0,0934 ou 9,34%).

Checagem dupla: Se calcularmos o montante diretamente com 1,5% ao mês por 6 meses: 10.000 * (1,015)^6 = 10.000 * 1,0934 = 10.934, que bate com o valor final obtido.

Portanto, a alternativa correta é a letra c).